Quantique : algorithmes et information

Prérequis : QUA, complexes, matrices et probabilités. But : suivre des états mixtes et des algorithmes idéaux en conservant phases et convention de bits. Les extensions Fourier, phase et CHSH dépassent le socle introductif; aucun matériel distant requis.

Premier parcours universitaire · 10–15 h estimées · français

5 visuels et 10 exercices interactifs

Ces leçons forment un premier socle, sans équivalence de crédits universitaires. Les durées sont indicatives et incluent la pratique.

Matrices densité et déphasage

On prépare |+⟩, puis on applique Z avec probabilité p=0,25. Le résultat est un mélange de deux préparations.

Le rappel qui sert ici. Les égalités gardent leurs hypothèses; ouvre une étape pour retrouver le sens de chaque opération.

Écrire le projecteur de |+⟩ $ρ ₊ = (1 / 2) [[1,1], [1,1]]$
Pourquoi cette étape ? Le produit |ψ⟩⟨ψ| contient les produits des amplitudes et de leurs conjuguées.
Identifier la branche Z $Z | + ⟩ = | - ⟩; ρ ₋ = (1 / 2) [[1, - 1], [- 1,1]]$
Pourquoi cette étape ? Z change la phase relative, sans changer les probabilités en base de calcul.
Pondérer les deux branches $ρ = 0,75 ρ ₊ + 0,25 ρ ₋ = [[0,5; 0,25], [0,25; 0,5]]$
Pourquoi cette étape ? On mélange des matrices avec des poids positifs de somme 1. Les éléments hors diagonale ne restent pas à 0,5.
Mesurer la pureté $Tr (ρ²) = 0,75 ² + 0,25 ² = 0,625$
Pourquoi cette étape ? Les deux branches |+⟩ et |−⟩ sont orthogonales : les poids sont les valeurs propres.
Révéler la cohérence avec H $P (0 après H) = 0,75; P (1 après H) = 0,25$
Pourquoi cette étape ? Avant H, les probabilités étaient 1/2,1/2. Les termes hors diagonale déterminent l’interférence suivante.

Règles, cas particuliers et autre exemple

Un vecteur d’état suffit pour un état pur. Une matrice densité ρ permet aussi de représenter un mélange : on additionne les projecteurs pondérés par leurs probabilités, sans additionner les amplitudes entre branches classiques. Une matrice physique est hermitienne, positive et de trace 1. Sa pureté Tr(ρ²) vaut 1 pour un état pur; elle vaut 1/2 pour le mélange maximal d’un qubit.

Exemple résolu

On prépare |+⟩, puis on applique Z avec probabilité p=0,25. Le résultat est un mélange de deux préparations.

Matrices densité et déphasage

On prépare |+⟩, puis on applique Z avec probabilité p=0,25. Le résultat est un mélange de deux préparations.

Les équations et les explications au clic restent disponibles sans JavaScript. Active-le pour manipuler le modèle et choisir les réponses.

Oracle et algorithme de Deutsch

Une fonction promise f:{0,1}→{0,1} est constante ou équilibrée. On part de |0⟩|1⟩ et on veut distinguer ces deux classes.

Le rappel qui sert ici. Les égalités gardent leurs hypothèses; ouvre une étape pour retrouver le sens de chaque opération.

Préparer les deux fils $| 01 ⟩ \to H \otimes H \to | + ⟩ | - ⟩$
Pourquoi cette étape ? H|0⟩=|+⟩ et H|1⟩=|−⟩. Le second signe négatif est indispensable.
Faire agir l’oracle $U_f | x ⟩ | - ⟩ = (- 1) ᶠ ⁽ ˣ ⁾ | x ⟩ | - ⟩$
Pourquoi cette étape ? Retourner |−⟩ par X le multiplie par−1. Le second qubit reste séparable dans cet algorithme.
Prendre f(x)=x $| + ⟩ \to (| 0 ⟩ - | 1 ⟩) / \sqrt 2 = | - ⟩$
Pourquoi cette étape ? Les valeurs f(0)=0 et f(1)=1 donnent des signes opposés.
Appliquer le dernier H $H | - ⟩ = | 1 ⟩$
Pourquoi cette étape ? Les deux amplitudes interfèrent; il ne s’agit pas de lire séparément f(0) et f(1).
Lire le seul bit utile $q 0 = 1 : équilibrée; q 0 = 0 : constante$
Pourquoi cette étape ? Une constante 1 ajoute seulement une phase globale. La promesse sur la fonction est nécessaire à la conclusion.

Règles, cas particuliers et autre exemple

L’oracle réversible réalise U_f|x,y⟩=|x,y⊕f(x)⟩. La préparation du second qubit dans |−⟩ transforme le retournement de ce qubit en un signe sur le premier : c’est le retour de phase. Le comptage d’une requête suppose l’accès à cet oracle; fabriquer ou compiler l’oracle a un coût et les différents modèles d’accès doivent être comparés honnêtement.

Exemple résolu

Une fonction promise f:{0,1}→{0,1} est constante ou équilibrée. On part de |0⟩|1⟩ et on veut distinguer ces deux classes.

Oracle et algorithme de Deutsch

Une fonction promise f:{0,1}→{0,1} est constante ou équilibrée. On part de |0⟩|1⟩ et on veut distinguer ces deux classes.

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Transformée de Fourier quantique

On applique une QFT à deux qubits à l’état |01⟩, indice j=1 dans l’ordre |00⟩,|01⟩,|10⟩,|11⟩.

Le rappel qui sert ici. Les égalités gardent leurs hypothèses; ouvre une étape pour retrouver le sens de chaque opération.

Fixer la dimension et le facteur $N = 2 ² = 4; 1 / \sqrt N = 1 / 2$
Pourquoi cette étape ? Deux qubits portent quatre amplitudes. Le facteur 1/2 conserve la norme.
Calculer les quatre angles $2 πjk / 4 : 0; π / 2; π; 3 π / 2$
Pourquoi cette étape ? L’indice j vaut 1, et k parcourt 0,1,2,3 dans l’ordre affiché.
Utiliser Euler $e⁰ = 1; eⁱπᐟ² = i; eⁱπ = - 1; e³ⁱπᐟ² = - i$
Pourquoi cette étape ? eⁱθ=cosθ+i sinθ relie l’angle à une amplitude complexe.
Assembler le vecteur $F₄ | 01 ⟩ = (1, i, - 1, - i) / 2$
Pourquoi cette étape ? Les parties réelles et imaginaires doivent être gardées séparées avant de calculer les modules.
Vérifier puis inverser $P (k) = 1 / 4; F₄ † F₄ | 01 ⟩ = | 01 ⟩$
Pourquoi cette étape ? Les quatre probabilités sont égales mais les phases portent l’indice d’entrée. L’inverse les recombine.

Règles, cas particuliers et autre exemple

La QFT associe à chaque indice d’entrée des phases réparties sur les indices de sortie : F_N|j⟩=(1/√N)Σ_k exp(2πijk/N)|k⟩. La convention ici utilise le signe positif; l’inverse utilise le signe négatif. La QFT ne révèle pas toutes les valeurs d’une transformée classique en une mesure : l’information de phase doit être exploitée par un algorithme.

Exemple résolu

On applique une QFT à deux qubits à l’état |01⟩, indice j=1 dans l’ordre |00⟩,|01⟩,|10⟩,|11⟩.

Transformée de Fourier quantique

On applique une QFT à deux qubits à l’état |01⟩, indice j=1 dans l’ordre |00⟩,|01⟩,|10⟩,|11⟩.

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Estimation de phase sur un registre

La cible est supposée dans un état propre |u⟩ de U avec U|u⟩=e²ⁱπφ|u⟩. On prend φ=3/8 et trois qubits de lecture.

Le rappel qui sert ici. Les égalités gardent leurs hypothèses; ouvre une étape pour retrouver le sens de chaque opération.

Choisir la résolution $m = 3; N = 2 ³ = 8; pas = 1 / 8$
Pourquoi cette étape ? Un registre de trois bits ne représente que huit fractions binaires sur un tour.
Préparer les phases $aⱼ = e²ⁱπʲ ⁽ ³ᐟ⁸ ⁾ / \sqrt 8$
Pourquoi cette étape ? j parcourt 0 à 7. La phase est en tours, donc 2π convertit en radians.
Appliquer la QFT inverse $bₖ = (1 / 8) Σⱼe²ⁱπʲ ⁽ ³ᐟ⁸ ⁻ ᵏᐟ⁸ ⁾$
Pourquoi cette étape ? Les deux facteurs 1/√8 se multiplient pour donner 1/8.
Identifier l’interférence constructive $k = 3 \Rightarrow b₃ = (1 / 8) Σⱼ 1 = 1$
Pourquoi cette étape ? À cet indice, chaque phase résiduelle vaut zéro. Les huit termes s’additionnent.
Lire la phase et sa limite $P (k = 3) = 1; φ estimée = 3 / 8$
Pourquoi cette étape ? Ce résultat certain utilise une phase exactement représentable et un circuit idéal. Une phase entre deux cases répartit les probabilités.

Règles, cas particuliers et autre exemple

Après les opérations contrôlées U^(2^r), le registre de lecture idéal porte les amplitudes exp(2πijφ)/√N. Appliquer une QFT inverse concentre la probabilité près des indices k dont k/N approche φ. Si la cible n’est pas un état propre, plusieurs phases peuvent apparaître avec les poids correspondants. Le visuel calcule le registre idéal après retour de phase; il ne simule pas le coût d’implémentation de U.

Exemple résolu

La cible est supposée dans un état propre |u⟩ de U avec U|u⟩=e²ⁱπφ|u⟩. On prend φ=3/8 et trois qubits de lecture.

Estimation de phase sur un registre

La cible est supposée dans un état propre |u⟩ de U avec U|u⟩=e²ⁱπφ|u⟩. On prend φ=3/8 et trois qubits de lecture.

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Corrélations de Bell et inégalité CHSH

Une paire singulet idéale donne E(a,b)=−cos(a−b). On choisit a=0°, a′=90°, b=45°, b′=−45°.

Le rappel qui sert ici. Les égalités gardent leurs hypothèses; ouvre une étape pour retrouver le sens de chaque opération.

Écrire la combinaison choisie $S = | E (a, b) + E (a, b′) + E (a′, b) - E (a′, b′) |$
Pourquoi cette étape ? Le signe moins porte seulement sur le dernier terme dans cette convention.
Calculer les trois premiers termes $E (a, b) = E (a, b′) = E (a′, b) = - \sqrt 2 / 2$
Pourquoi cette étape ? Les écarts angulaires sont±45° ou45°. Le cosinus est pair.
Calculer le dernier terme $E (a′, b′) = - \cos 135 ° = + \sqrt 2 / 2$
Pourquoi cette étape ? Un cosinus négatif donne ici une corrélation positive.
Former la valeur absolue $S = | - 4 \sqrt 2 / 2 | = 2 \sqrt 2 \approx 2,828427$
Pourquoi cette étape ? On soustrait le dernier terme positif; il ne s’annule donc pas avec les trois premiers.
Ajouter la visibilité $S (v) = 2 \sqrt 2 v; violation si v > 1 / \sqrt 2$
Pourquoi cette étape ? Le seuil 2 concerne les hypothèses de CHSH. Une violation théorique ne permet pas d’envoyer un signal instantané.

Règles, cas particuliers et autre exemple

Les résultats locaux valent±1. Sous les hypothèses locales usuelles et des choix de réglages indépendants des variables cachées, la combinaison CHSH est bornée par 2. La mécanique quantique atteint 2√2. Le laboratoire affiche des espérances théoriques, pas une expérience fermant les échappatoires de détection ou de sélection. Une visibilité v modélise ici un mélange du singulet avec le bruit blanc, multipliant les corrélations par v.

Exemple résolu

Une paire singulet idéale donne E(a,b)=−cos(a−b). On choisit a=0°, a′=90°, b=45°, b′=−45°.

Corrélations de Bell et inégalité CHSH

Une paire singulet idéale donne E(a,b)=−cos(a−b). On choisit a=0°, a′=90°, b=45°, b′=−45°.

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Pour aller plus loin

Téléportation, Shor complet, correction d’erreurs, canaux généraux, démonstrations expérimentales et export vers un SDK restent à développer. Le coût des oracles et les limites du matériel ne sont pas simulés.