Probabilités et statistiques

Prérequis : algèbre, logarithmes et intégrales simples. But : distinguer modèle aléatoire, données observées et conclusion statistique.

Premier parcours universitaire · 8–12 h estimées · français

5 visuels et 10 exercices interactifs

Ces leçons forment un premier socle, sans équivalence de crédits universitaires. Les durées sont indicatives et incluent la pratique.

Bernoulli et binomiale

Compter les défauts sans confondre moyenne et observation

Trois composants indépendants ont chacun une probabilité de défaut p=0,10. Un défaut est codé 1.

Le rappel qui sert ici. Une probabilité de complément vaut 1 moins celle de l’événement. Des événements indépendants multiplient leurs probabilités.

Définir ce que l’on compte $Xᵢ \in {0; 1}; S = X₁ + X₂ + X₃$
Pourquoi cette étape ? Le mot succès désigne seulement l’issue codée 1. Ici ce succès mathématique est un défaut industriel.
Calculer zéro défaut $P (S = 0) = (1 - p) ³ = 0,9 ³ = 0,729$
Pourquoi cette étape ? Chaque composant fonctionne avec probabilité 0,9. On peut multiplier parce que l’indépendance et le même p sont supposés.
Passer au complément $P (S \geq 1) = 1 - P (S = 0) = 0,271$
Pourquoi cette étape ? Au moins un défaut comprend un, deux ou trois défauts. Le complément zéro défaut évite d’additionner ces trois cas séparément.
Trouver le nombre moyen $E [S] = np = 3 \times 0,1 = 0,3$
Pourquoi cette étape ? Une espérance est une moyenne sur de nombreux lots. Aucun lot de trois composants ne contient effectivement 0,3 défaut.
Quantifier la dispersion du comptage $Var (S) = np (1 - p) = 3 \times 0,1 \times 0,9 = 0,27$
Pourquoi cette étape ? La variance n’est pas l’écart-type, qui serait sa racine. Le visuel sépare la loi binomiale théorique des fréquences de lots simulés.

Règles, cas particuliers et autre exemple

Une variable de Bernoulli X vaut 1 pour un succès et 0 sinon. P(X=1)=p, E[X]=p, Var(X)=p(1−p). La somme de n essais indépendants ayant le même p suit une binomiale : P(S=k)=C(n,k)pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ. L’indépendance et la constance de p sont des hypothèses à justifier. Un prélèvement sans remise dans un petit lot n’est généralement pas binomial. Le mot « succès » désigne l’événement codé 1, même si c’est une panne.

Exemple résolu

trois composants indépendants, chacun défectueux avec p=0,1. Au moins un défaut est le complément de zéro défaut : 1−0,9³=0,271. Le nombre moyen de défauts est 0,3; une espérance non entière n’est pas un nombre de défauts observé dans un lot.

Comptages et chemins binomiaux

Trois essais indépendants, p=0,1 : P(S≥1)=0,271 et E(S)=0,3.

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Conditionnement et Bayes

Renverser un conditionnement avec Bayes

Parmi les pièces, 1 % sont défectueuses. Le capteur alerte sur 90 % des défauts et sur 5 % des bonnes pièces.

Le rappel qui sert ici. P(défaut|alarme) demande de regarder uniquement les pièces en alarme, sans oublier les fausses alarmes.

Calculer les vraies alarmes dans toute la population $P (D \cap +) = P (D) P (+ | D) = 0,01 \times 0,90 = 0,009$
Pourquoi cette étape ? La sensibilité 90 % est conditionnelle aux défauts, qui ne représentent que 1 % de la population.
Calculer les fausses alarmes $P (non D \cap +) = 0,99 \times 0,05 = 0,0495$
Pourquoi cette étape ? Une faible fraction d’une très grande population de bonnes pièces peut dépasser les vraies alarmes.
Construire le dénominateur $P (+) = 0,009 + 0,0495 = 0,0585$
Pourquoi cette étape ? Les deux branches sont exclusives et couvrent toutes les alarmes. On les additionne sans les confondre avec deux probabilités conditionnelles brutes.
Diviser par toutes les alarmes $P (D | +) = \frac{0,009}{0,0585} \approx 0,153846$
Pourquoi cette étape ? Le dénominateur est strictement positif. Si aucune alarme n’était possible, ce conditionnement serait indéfini.
Relire en effectifs attendus $P (D | +) = \frac{90}{90 + 495} \approx 15,3846 %$
Pourquoi cette étape ? Les effectifs sont les valeurs attendues du modèle, pas un relevé garanti sur un lot réel. Une alarme ne signifie pas 90 % de probabilité de défaut.

Règles, cas particuliers et autre exemple

P(A|B)=P(A∩B)/P(B) pour P(B)>0. L’ordre compte : P(A|B) et P(B|A) répondent à deux questions différentes. La probabilité totale additionne les branches exclusives d’une partition; Bayes renverse le conditionnement. En contrôle qualité, la rareté d’un défaut peut faire qu’une grande part des alarmes soit fausse, même avec un capteur assez performant. Définir la population et l’événement avant de dessiner l’arbre.

Exemple résolu

1 % de défauts, sensibilité 90 %, taux de faux positifs 5 %. P(+)=0,01×0,9+0,99×0,05=0,0585. Donc P(défaut|+)=0,009/0,0585≈0,153846. Une alarme n’établit pas un défaut avec une probabilité de 90 %.

Remonter une probabilité avec Bayes

Prévalence 1 %, sensibilité 90 %, faux positifs 5 % : P(défaut | positif)≈15,3846 %.

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Lois continues et fiabilité

Passer d’une densité à une probabilité de survie

Une durée T est modélisée par une exponentielle de moyenne 100 h. On cherche la probabilité de dépasser 50 h.

Le rappel qui sert ici. Une probabilité continue est une aire sous la densité, pas la hauteur de cette densité à un instant. Reprendre ce rappel avec un exemple.

Retrouver le taux à partir de la moyenne $λ = \frac{1}{E [T]} = \frac{1}{100} = 0,01 h ⁻ ¹$
Pourquoi cette étape ? Le taux a l’unité inverse d’une durée. Il ne vaut pas la moyenne 100 h.
Écrire la densité et son domaine $f (t) = λ e^{- λt}, t \geq 0$
Pourquoi cette étape ? La densité est en h⁻¹. Une valeur de densité n’est pas directement une probabilité ponctuelle; P(T=50)=0 dans ce modèle continu.
Intégrer la queue $P (T > 50) = \int ₅₀ \infty λ e^{- λt} dt = e^{- 50 λ}$
Pourquoi cette étape ? Une primitive est −exp(−λt). À l’infini, l’exponentielle s’annule; il reste exp(−50λ).
Évaluer et prendre le complément $P (T > 50) = e^{- 0,5} \approx 0,606531; P (T \leq 50) \approx 0,393469$
Pourquoi cette étape ? Les probabilités de défaillir avant 50 h et de survivre au-delà totalisent un.
Vérifier l’hypothèse de fiabilité $P (T > 150 | T > 100) = \frac{e^{- 1,5}}{e^{- 1}} = e^{- 0,5}$
Pourquoi cette étape ? L’absence de mémoire vient de l’exponentielle à taux constant. Elle ne décrit pas automatiquement un composant qui vieillit.

Règles, cas particuliers et autre exemple

Une densité f n’est pas une probabilité ponctuelle : P(a≤X≤b)=∫ₐᵇf(x)dx. Pour une durée exponentielle de taux λ>0, P(T>t)=e⁻λᵗ et E[T]=1/λ; le taux de défaillance constant est une hypothèse forte, souvent inadaptée au vieillissement. Pour une normale, standardiser Z=(X−μ)/σ utilise l’écart-type, non la variance. Une normale admet des valeurs négatives; vérifier leur plausibilité pour une grandeur physique.

Exemple résolu

durée exponentielle de moyenne 100 h : λ=0,01 h⁻¹. La probabilité de survivre 50 h vaut e⁻⁰·⁵≈0,606531. Grâce à l’absence de mémoire du modèle, survivre encore 50 h après 100 h vaut aussi 0,606531; cette propriété doit être justifiée par le choix de loi.

Une aire est une probabilité

Durée exponentielle de moyenne 100 h : P(T≤50 h)≈0,393469.

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Estimer et tester

Construire un intervalle puis tester une moyenne

n=100 mesures normales indépendantes, moyenne observée 10,2 mm, écart-type de population connu σ=1 mm. H₀ : μ=10 mm.

Le rappel qui sert ici. L’erreur-type décrit la variation d’une moyenne entre échantillons. La valeur-p est calculée sous H₀.

Trouver l’erreur-type $SE = \frac{σ}{\sqrt n} = \frac{1}{10} = 0,1 mm$
Pourquoi cette étape ? On divise l’écart-type par √n, pas par n. L’écart-type d’une mesure et celui d’une moyenne sont différents.
Calculer la marge à environ 95 % $marge = 1,96 SE = 0,196 mm$
Pourquoi cette étape ? Le seuil normal 1,96 est arrondi. Avec σ inconnu, il faudrait une procédure adaptée utilisant s et la loi de Student.
Placer l’intervalle autour de la moyenne observée $IC = [10,2 - 0,196; 10,2 + 0,196] = [10,004; 10,396] mm$
Pourquoi cette étape ? La couverture d’environ 95 % concerne la procédure répétée. Après observation, μ reste un paramètre fixe; ce n’est pas une probabilité de 95 % attribuée à cet intervalle particulier.
Standardiser sous H zéro $z = \frac{x ̄ - μ₀}{SE} = \frac{10,2 - 10}{0,1} = 2$
Pourquoi cette étape ? Sous H₀ et les hypothèses annoncées, Z suit une normale standard. Le test est bilatéral : les deux directions d’écart comptent.
Comparer la valeur-p au seuil choisi $pval = 2 P (Z \geq 2) \approx 0,04550 < 0,05$
Pourquoi cette étape ? On rejette H₀ à 5 % dans ce modèle. Cela ne mesure ni la probabilité que H₀ soit vraie, ni l’importance technique des 0,2 mm observés.

Règles, cas particuliers et autre exemple

Une moyenne d’échantillon varie entre prélèvements. Pour observations indépendantes normales et σ connu, un intervalle à 95 % est x̄±1,96σ/√n; avec σ inconnu, la procédure de Student utilise s et ses degrés de liberté. « 95 % » décrit la couverture de la procédure, pas une probabilité sur une moyenne fixe après observation. Un test pose H₀, choisit α puis calcule une statistique et une valeur-p. Ne pas rejeter H₀ n’établit pas son exactitude, et une petite valeur-p ne mesure pas l’importance technique de l’écart.

Exemple résolu

n=100, x̄=10,2 mm, σ connu=1 mm. Erreur-type=0,1 mm; intervalle [10,004;10,396] mm. Pour H₀: μ=10 contre H₁: μ≠10, z=2 et valeur-p≈0,04550; rejet à 5 %, sous les hypothèses du test.

Estimer, tester et répéter des échantillons

σ=1, n=100, moyenne observée 10,2 : intervalle à 95 % [10,004 ; 10,396], sous le modèle normal à σ connu.

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Régression et résidus

Ajuster une droite et relire ses résidus

Mesures (0;1), (1;3), (2;5). On ajuste ŷ=a+bx par moindres carrés.

Le rappel qui sert ici. Un résidu est observé moins prédit. La pente utilise la variation conjointe de x et y autour de leurs moyennes.

Calculer les deux moyennes $x ̄ = \frac{0 + 1 + 2}{3} = 1; ȳ = \frac{1 + 3 + 5}{3} = 3$
Pourquoi cette étape ? On centre les coordonnées avant de former les produits. Les deux variables gardent leurs rôles : x explique, y est la réponse.
Former les sommes centrées $Sxx = (- 1) ² + 0 ² + 1 ² = 2; Sxy = (- 1) (- 2) + 0 + 1 \times 2 = 4$
Pourquoi cette étape ? Sxx mesure l’étalement des x. S’il était nul, aucune pente ne pourrait être identifiée à partir de ces données.
Déduire pente et ordonnée à l’origine $b = \frac{Sxy}{Sxx} = 2; a = ȳ - bx ̄ = 1$
Pourquoi cette étape ? La droite ajustée passe par le point moyen (x̄;ȳ). Son intercept n’est pas forcément une observation physique à x=0 hors de la plage.
Calculer les résidus et leur somme des carrés $eᵢ = yᵢ - (1 + 2 xᵢ); e = (0; 0; 0); SSE = Σeᵢ² = 0$
Pourquoi cette étape ? Ici les trois points sont exactement alignés. Avec des écarts, les segments verticaux et le graphe des résidus montrent leur signe et leur structure.
Distinguer interpolation et extrapolation $ŷ (1,5) = 1 + 2 \times 1,5 = 4; 1,5 \in [0; 2]$
Pourquoi cette étape ? C’est une interpolation. Un ajustement parfait sur trois points ne prouve ni une causalité ni la validité de la droite au-delà de x=2.

Règles, cas particuliers et autre exemple

La régression linéaire ajuste ŷ=a+bx en minimisant la somme des carrés des résidus eᵢ=yᵢ−ŷᵢ. b=Σ(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ)/Σ(xᵢ−x̄)² puis a=ȳ−bx̄. Un graphique de résidus révèle courbure, variance changeante ou points atypiques que masque une droite. La corrélation ne prouve pas la causalité; extrapoler hors de la plage de calibration exige un modèle physique supplémentaire. Les incertitudes des coefficients supposent davantage que le simple calcul de la droite.

Exemple résolu

points (0,1),(1,3),(2,5). x̄=1, ȳ=3; numérateur=4, dénominateur=2, donc b=2 et a=1. Tous les résidus sont nuls. Cela ne prouve pas que le capteur reste linéaire au-delà de x=2.

Ajuster et lire les résidus

Points (0,1), (1,3), (2,5) : droite y=1+2x et résidus nuls.

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Pour aller plus loin

Poisson, géométrique, hypergéométrique, théorème central limite, intervalles de proportions, tests de deux populations, puissance statistique et analyse de variance. Le premier ensemble ne remplace pas ces parties de MAT350.