Électricité et magnétisme

Prérequis : vecteurs, intégrales, gradient et flux. But : relier charges, champs, forces et énergie. Constantes pédagogiques : kₑ=8,99×10⁹ N·m²/C²; ε₀=8,854×10⁻¹² F/m; μ₀≈4π×10⁻⁷ H/m.

Premier parcours universitaire · 10–15 h estimées · français

5 visuels et 10 exercices interactifs

Ces leçons forment un premier socle, sans équivalence de crédits universitaires. Les durées sont indicatives et incluent la pratique.

Coulomb et superposition

D’une charge source à la force sur une autre charge

Une source de +1 µC est à l’origine. La sonde est à x=0,10 m et porte −2 nC. On distingue le champ de la source et la force sur la sonde.

Le rappel qui sert ici. µ signifie un millionième : 1 µC=10⁻⁶ C. n signifie un milliardième : 1 nC=10⁻⁹ C. Un vecteur donne une norme et un sens.

Convertir les charges avant le calcul $qₛ = 10^{- 6} C, qₜ = - 2 \times 10^{- 9} C$
Pourquoi cette étape ? Les constantes sont en unités SI : des coulombs et des mètres. Les préfixes entrent dans le calcul comme des facteurs.
Calculer le carré de la distance $r^{2} = (0,10) ² = 0,0100 m²$
Pourquoi cette étape ? La loi est en 1/r². Doubler la distance divise le champ par quatre, pas par deux.
Calculer le champ de la source $E = \frac{kₑqₛ}{r^{2}} = 899000 N / C, vers + x$
Pourquoi cette étape ? La source est positive : le champ s’éloigne d’elle. À droite de la source, cela donne le sens +x.
Passer du champ à la force $Fₓ = qₜEₓ = - 0,001798 N$
Pourquoi cette étape ? Le champ ne change pas quand on change la petite charge test. C’est la force qui change de sens si cette charge devient négative.
Vérifier le sens physique $Fₓ < 0$
Pourquoi cette étape ? La charge positive attire la charge test négative. Depuis la sonde à droite, une force vers la source pointe bien vers −x. Le modèle suppose une sonde assez petite pour ne pas déplacer les sources.

Règles, cas particuliers et autre exemple

Une charge source q produit E=kₑq r̂/r². Une charge test qₜ subit F=qₜE. Le champ existe indépendamment de la charge test; une charge négative subit une force opposée à E. Additionner les champs vectoriellement, composante par composante. Le modèle ponctuel convient si les tailles des objets sont petites devant les distances ou si une symétrie le justifie. Les lignes de champ sont un outil de représentation, jamais des fils matériels ni des trajectoires garanties.

Exemple résolu

charge +1 µC, point à 0,1 m suivant +x. E=8,99×10⁵ N/C suivant +x. Une charge test −2 nC y subit F=−1,798×10⁻³ N suivant x. Le signe de la charge test inverse la force.

Deux charges, un champ et une force

Charges +1 µC en x=±1 m : au milieu, E=0 N/C et V=17 980 V. Une charge test négative subit une force opposée au champ.

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Flux et loi de Gauss

Agrandir une surface sans changer le flux

Une sphère de rayon 0,20 m entoure une charge de +1 nC placée au centre. On trouve le flux total, puis le champ sur la sphère.

Le rappel qui sert ici. Une aire de sphère vaut 4πr². Un flux additionne la composante normale du champ sur toute la surface fermée.

Compter la charge enfermée $Qᵢₙₜ = 10^{- 9} C$
Pourquoi cette étape ? Seule la charge à l’intérieur intervient dans le flux net. La surface de calcul n’est pas une coque matérielle.
Appliquer Gauss au flux total $Φ = \frac{Qᵢₙₜ}{ε₀} \approx 112,943 N \cdot m² / C$
Pourquoi cette étape ? La loi donne déjà l’intégrale sur toute la surface. Il ne faut pas multiplier ce résultat par un nombre de faces.
Utiliser la symétrie sphérique $A = 4 π r^{2} \approx 0,502655 m²$
Pourquoi cette étape ? La charge centrée rend le champ radial et de norme constante sur la sphère; E peut donc sortir de l’intégrale.
Déduire le champ local $E = \frac{Φ}{A} \approx 224,694 N / C$
Pourquoi cette étape ? Le flux et le champ n’ont pas la même unité. Pour cette symétrie, le flux est le champ normal multiplié par l’aire.
Doubler le rayon $A₂ = 4 A, E₂ = \frac{E}{4}, Φ₂ = Φ$
Pourquoi cette étape ? Le même flux se répartit sur quatre fois plus d’aire. Une charge extérieure peut toutefois modifier le champ local sans modifier le flux net.

Règles, cas particuliers et autre exemple

Gauss impose ∮E·n dA=Qint/ε₀ pour toute surface fermée. Cette loi donne facilement E seulement si une symétrie permet de sortir sa norme de l’intégrale. Pour une charge ponctuelle au centre d’une sphère, E est normal et constant en norme sur la sphère : E4πr²=q/ε₀. Une charge extérieure peut changer le champ local sans changer le flux net associé à Qint. Choisir la surface de calcul ne crée pas une nouvelle surface physique.

Exemple résolu

sphère entourant une charge +1 nC. Flux=q/ε₀≈112,943 N·m²/C, quel que soit le rayon. Doubler le rayon divise le champ par quatre et multiplie l’aire par quatre.

Une surface gaussienne réglable

Pour +1 nC au centre, Φ≈112,943 N·m²/C. Doubler le rayon divise le champ par quatre et conserve le flux.

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Potentiel, condensateur et énergie

Changer la capacité d’un condensateur isolé

Un condensateur de 1 µF porte 10 µC. On le débranche, puis un diélectrique double sa capacité. On compare tension et énergie.

Le rappel qui sert ici. Q=CV, donc V=Q/C. Isolé signifie ici qu’aucun chemin ne permet à la charge des plaques de changer.

Trouver la tension initiale $V₀ = \frac{Q}{C₀} = \frac{10 µC}{1 µF} = 10 V$
Pourquoi cette étape ? Les facteurs micro se simplifient dans le quotient. Un farad correspond à un coulomb par volt.
Identifier la quantité conservée $Q₁ = Q₀ = 10 µC$
Pourquoi cette étape ? La source est retirée. Elle ne peut pas fournir de charge supplémentaire pour maintenir la tension.
Recalculer la tension $C₁ = 2 µF, V₁ = \frac{Q₁}{C₁} = 5 V$
Pourquoi cette étape ? Avec la même charge et une capacité double, la tension est divisée par deux.
Comparer les énergies $U₀ = \frac{Q^{2}}{2 C₀} = 50 µJ, U₁ = \frac{Q^{2}}{2 C₁} = 25 µJ$
Pourquoi cette étape ? La forme Q²/(2C) rend visible ce qui est maintenu constant. L’énergie du champ diminue; le bilan complet inclut le travail lors de l’insertion du diélectrique.
Comparer avec une source maintenue $V₁ = V₀ \Rightarrow Q₁ = 2 Q₀, U₁ = 2 U₀$
Pourquoi cette étape ? Branché et isolé sont deux problèmes différents. Avec une source idéale maintenue, c’est V qui reste constant, et non Q.

Règles, cas particuliers et autre exemple

La différence de potentiel vaut Vb−Va=−∫a→b E·dl. En électrostatique, E=−∇V. Le potentiel est une énergie par charge, non une force. Un condensateur idéal vérifie Q=CV et stocke U=CV²/2. Pour des plaques parallèles assez larges, C≈εA/d en négligeant les effets de bord. Un diélectrique change ε, mais l’effet sur V ou Q dépend de la connexion : source maintenue ou condensateur isolé.

Exemple résolu

C=10 µF, V=12 V. Q=120 µC et U=0,00072 J. Doubler V double Q mais quadruple U. Retirer la source avant de modifier le diélectrique ne correspond pas au même problème que la laisser branchée.

Condensateur isolé ou branché

C₀=1 µF, V₀=10 V. Isolé et capacité doublée : Q=10 µC, V=5 V, U=25 µJ.

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Champ et force magnétiques

Trouver le sens d’une force magnétique

Une charge +1 µC avance à 1000 m/s suivant +x. Le champ B=0,10 T est dirigé suivant +z, vers toi hors de l’écran.

Le rappel qui sert ici. Le produit vectoriel est orienté : x×y=z, donc x×z=−y. La force magnétique est perpendiculaire à la vitesse.

Écrire les vecteurs avec leurs directions $v = (1000; 0; 0) m / s, B = (0; 0; 0,10) T$
Pourquoi cette étape ? Des normes seules ne suffisent pas à connaître le sens de la force. Les points-virgules séparent les composantes.
Calculer le produit vectoriel $v \times B = (0; - 100; 0)$
Pourquoi cette étape ? La norme vaut 1000×0,10 car les deux vecteurs sont perpendiculaires. Le sens x×z donne −y.
Multiplier par la charge $F = q (v \times B) = (0; - 10^{- 4}; 0) N$
Pourquoi cette étape ? 1 µC vaut 10⁻⁶ C. Une charge négative inverserait ce vecteur, sans changer la règle du produit vectoriel.
Vérifier le travail de cette force $P = F \cdot v = 0 W$
Pourquoi cette étape ? La force courbe le mouvement mais n’augmente pas la norme de la vitesse lorsque seul ce champ magnétique agit.

Règles, cas particuliers et autre exemple

La force de Lorentz vaut F=q(E+v×B). La composante magnétique est perpendiculaire à v : elle ne fournit pas de travail sur une charge ponctuelle, mais peut courber sa trajectoire. Un fil rectiligne très long crée B=μ₀I/(2πr); le sens suit la règle de la main droite pour le courant conventionnel. Pour un segment dans un champ uniforme, F=Iℓ×B. Ces formules exigent la géométrie et l’orientation, pas seulement trois nombres positifs.

Exemple résolu

q=1 µC, v=(1000 ; 0 ; 0) m/s et B=(0 ; 0 ; 0,1) T, les points-virgules séparant les composantes. v×B=(0 ; −100 ; 0); F=(0 ; −10⁻⁴ ; 0) N. Une charge négative inverse ce sens. La norme de la vitesse reste constante si seul ce champ magnétique agit.

Les directions de v, B et F

q=+1 µC, v=1000 m/s suivant +x, B=0,10 T suivant +z : Fy=−0,0001 N et F·v=0.

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Faraday, Lenz et inductance

Une variation de flux produit une tension

Une bobine fixe a 100 spires de 0,01 m². B, suivant la normale +z choisie, passe de 0 à 0,20 T en 0,10 s. Le sens positif de parcours est antihoraire vu depuis +z.

Le rappel qui sert ici. La pente est variation divisée par durée. Pour un champ uniforme normal aux spires, le flux d’une spire vaut BA.

Calculer la pente du champ $\frac{dB}{dt} = \frac{0,20}{0,10} = 2 T / s$
Pourquoi cette étape ? On étudie une rampe linéaire. C’est sa pente, pas la valeur instantanée de B, qui produit la tension.
Calculer la variation de flux d’une spire $\frac{dΦ}{dt} = A \frac{dB}{dt} = 0,02 Wb / s$
Pourquoi cette étape ? L’aire et l’orientation sont fixes. Si la bobine tournait, il faudrait aussi dériver le facteur d’orientation.
Additionner les spires et appliquer Lenz $ε = - N \frac{dΦ}{dt} = - 2 V$
Pourquoi cette étape ? Le signe est mesuré par rapport au parcours positif choisi. Le flux vers +z augmente : le courant induit, si la boucle est fermée, tend à créer un champ vers −z.
Distinguer tension et courant $I = \frac{ε}{R} = - 0,20 A$
Pourquoi cette étape ? Cette relation suppose ici une résistance totale de 10 Ω et une auto-inductance négligeable. Ouvert, le circuit porte une tension induite mais aucun courant.
Arrêter la rampe $\frac{dB}{dt} = 0 \Rightarrow ε = 0$
Pourquoi cette étape ? Un champ constant peut être non nul tout en ne produisant aucune f.é.m. dans cette bobine fixe.

Règles, cas particuliers et autre exemple

Le flux magnétique vaut ΦB=∫B·n dA. Pour N spires fixes, ε=−N dΦB/dt; le signe de Lenz exprime une opposition à la variation du flux, pas nécessairement au champ lui-même. Choisir d’abord normale et sens positif de parcours. Une bobine idéale vérifie v=Ldi/dt sous convention récepteur et stocke Li²/2. La tension peut être non nulle à courant instantanément nul si le courant varie.

Exemple résolu

100 spires, aire 0,01 m², B normal passe de 0 à 0,2 T en 0,1 s. dB/dt=2 T/s; ε=−2 V dans le sens positif lié à la normale choisie. Si B cesse de varier, la f.é.m. de ce modèle retombe à zéro.

Flux, pente et tension induite

100 spires de 0,01 m², pente de B=2 T/s : ε=−2 V. Boucle résistive de 10 Ω fermée : I=−0,2 A.

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Pour aller plus loin

Distributions continues, dipôles, diélectriques réels, Biot–Savart général, Ampère, énergie des champs et introduction aux équations de Maxwell et aux ondes électromagnétiques.