Matrices 3×3, espaces et transformations

Prérequis : le parcours Matrices et algèbre linéaire. But : calculer en 3×3, comprendre image, noyau et projections, puis composer translation, rotation, étirement, miroir et cisaillement dans le plan et l’espace. Les transformations affines utilisent 3×3 dans le plan et 4×4 dans l’espace.

Premier parcours universitaire · 10–15 h estimées · français

5 visuels et 10 exercices interactifs

Ces leçons forment un premier socle, sans équivalence de crédits universitaires. Les durées sont indicatives et incluent la pratique.

Calculer avec une matrice 3×3

A=[1,2,0;0,1,1;0,0,2] et b=(5,5,6). On cherche le déterminant, l’inverse et la solution de Ax=b.

Le rappel qui sert ici. Les égalités gardent leurs hypothèses; ouvre une étape pour retrouver le sens de chaque opération.

Lire les trois équations $x + 2 y = 5; y + z = 5; 2 z = 6$
Pourquoi cette étape ? Les coefficients nuls ne créent pas de terme. La dernière ligne permet de commencer par z.
Calculer le déterminant $\det (A) = 1 \times \det [\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{matrix}] - 2 \times \det [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 2 \end{matrix}] + 0 = 2$
Pourquoi cette étape ? Les signes du développement suivant la première ligne sont+,−,+. Le volume est multiplié par 2, sans inversion d’orientation.
Remonter depuis la dernière ligne $z = 3; y = 5 - 3 = 2; x = 5 - 2 \times 2 = 1$
Pourquoi cette étape ? On substitue une valeur déjà obtenue dans l’équation précédente. Le système est triangulaire supérieur.
Écrire puis contrôler l’inverse $A ⁻ ¹ = [\begin{matrix} 1 & - 2 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 / 2 \\ 0 & 0 & 1 / 2 \end{matrix}]; AA ⁻ ¹ = I₃$
Pourquoi cette étape ? Chaque colonne de A⁻¹ est une solution de Aeⱼ′=eⱼ. Le produit avec A doit rendre les trois vecteurs de la base usuelle.
Vérifier avec le second membre $A ⁻ ¹ [\begin{matrix} 5 \\ 5 \\ 6 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}]; A [\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 5 \\ 5 \\ 6 \end{matrix}]$
Pourquoi cette étape ? La vérification dans le système initial est indépendante de la remontée. Un déterminant nul obligerait à étudier la compatibilité.

Règles, cas particuliers et autre exemple

Une matrice 3×3 agit sur trois composantes. Pour y=Ax, chaque yᵢ est le produit de la ligne i par le vecteur colonne x. Le déterminant donne le facteur de volume signé du parallélépipède construit sur les trois colonnes. Une matrice triangulaire a pour déterminant le produit de sa diagonale. On peut aussi développer par cofacteurs, avec des signes alternés. Le déterminant non nul permet une inverse; en pratique, résoudre un système par élimination évite souvent de calculer explicitement cette inverse.

Exemple résolu

A=[1,2,0;0,1,1;0,0,2] et b=(5,5,6). On cherche le déterminant, l’inverse et la solution de Ax=b.

Calculer avec une matrice 3×3

A=[1,2,0;0,1,1;0,0,2] et b=(5,5,6). On cherche le déterminant, l’inverse et la solution de Ax=b.

Les équations et les explications au clic restent disponibles sans JavaScript. Active-le pour manipuler le modèle et choisir les réponses.

Espaces vectoriels, image et noyau

Les colonnes a=(1,0,1), b=(0,1,1), c=(1,1,2) engendrent un sous-espace de R³. On cherche sa dimension et le noyau de A=[a b c].

Le rappel qui sert ici. Les égalités gardent leurs hypothèses; ouvre une étape pour retrouver le sens de chaque opération.

Repérer la dépendance $c = a + b \Rightarrow - a - b + c = 0$
Pourquoi cette étape ? La troisième colonne n’ajoute aucune direction nouvelle. Cette relation fournit déjà un vecteur du noyau.
Vérifier les deux premières directions $αa + βb = 0 \Rightarrow (α, β, α + β) = 0 \Rightarrow α = β = 0$
Pourquoi cette étape ? Les deux premières coordonnées imposent les deux coefficients nuls : a et b sont indépendants.
Décrire toute l’image $αa + βb = (α, β, α + β) \Rightarrow Im (A) = {(x, y, z) : z = x + y}$
Pourquoi cette étape ? L’équation du plan vaut pour tous les coefficients. Le dessin ne montre qu’un morceau de ce plan infini.
Trouver le noyau $A [\begin{matrix} u \\ v \\ w \end{matrix}] = 0 \Rightarrow u + w = 0, v + w = 0 \Rightarrow \ker (A) = Vect [\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}]$
Pourquoi cette étape ? Prendre w=t donne(u,v,w)=t(−1,−1,1). Le noyau vit dans l’espace des coefficients.
Contrôler les dimensions et le cas affine $rang (A) = 2; \dim \ker (A) = 1; 2 + 1 = 3; 0 \notin {z = x + y + 1}$
Pourquoi cette étape ? Le rang compte les directions indépendantes de l’image. Le plan décalé ne contient pas 0 : il échoue au premier test de sous-espace.

Règles, cas particuliers et autre exemple

Un sous-espace contient le vecteur nul et reste fermé par addition et multiplication scalaire. L’espace engendré par des colonnes contient toutes leurs combinaisons linéaires, avec des coefficients réels sans borne. Une base est une famille à la fois indépendante et génératrice. L’image de A est l’espace engendré par ses colonnes; le noyau regroupe les vecteurs de coefficients envoyés sur 0. Pour une matrice à n colonnes, rang(A)+dimension du noyau=n. Un plan translaté qui ne passe pas par l’origine est affine et ne constitue pas un sous-espace vectoriel.

Exemple résolu

Les colonnes a=(1,0,1), b=(0,1,1), c=(1,1,2) engendrent un sous-espace de R³. On cherche sa dimension et le noyau de A=[a b c].

Espaces vectoriels, image et noyau

Les colonnes a=(1,0,1), b=(0,1,1), c=(1,1,2) engendrent un sous-espace de R³. On cherche sa dimension et le noyau de A=[a b c].

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Projeter orthogonalement sur une droite ou un plan

On projette b=(2,0,3) sur la droite de direction u=(1,1,0), puis on examine le résidu.

Le rappel qui sert ici. Les égalités gardent leurs hypothèses; ouvre une étape pour retrouver le sens de chaque opération.

Calculer les deux produits scalaires $uᵀb = 1 \times 2 + 1 \times 0 + 0 \times 3 = 2; uᵀu = 2$
Pourquoi cette étape ? Le dénominateur est la norme au carré de u, pas sa norme. La direction doit être non nulle.
Trouver le coefficient de projection $c = (uᵀb) / (uᵀu) = 2 / 2 = 1$
Pourquoi cette étape ? Ce coefficient multiplie la direction entière; il ne représente pas une projection coordonnée par coordonnée.
Construire le projeté et le résidu $p = cu = [\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}]; e = b - p = [\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 3 \end{matrix}]$
Pourquoi cette étape ? Le résidu est le vecteur qui relie le point projeté au vecteur initial.
Vérifier l’orthogonalité et la distance $uᵀe = 1 - 1 + 0 = 0; distance = | | e | | = \sqrt 11$
Pourquoi cette étape ? L’angle droit se vérifie par le produit scalaire dans R³, pas en mesurant l’angle du dessin projeté sur l’écran.
Écrire la matrice et contrôler P²=P $P = [\begin{matrix} 1 / 2 & 1 / 2 & 0 \\ 1 / 2 & 1 / 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}]; Pb = p; Pp = p$
Pourquoi cette étape ? Les colonnes de P sont les images de la base usuelle. Les propriétés de symétrie et d’idempotence caractérisent ici la projection orthogonale.

Règles, cas particuliers et autre exemple

La projection orthogonale décompose b en p+e, avec p dans le sous-espace et e perpendiculaire à toutes ses directions. Sur une droite non nulle, p=u(uᵀb)/(uᵀu). Si les colonnes de Q sont orthonormales, la matrice de projection est P=QQᵀ. Pour une famille A indépendante, P=A(AᵀA)⁻¹Aᵀ; si les colonnes sont dépendantes, cette inverse n’existe pas. Gram–Schmidt peut fournir une base orthonormale des directions indépendantes. Une projection orthogonale vérifie Pᵀ=P et P²=P : projeter une seconde fois ne déplace plus le résultat.

Exemple résolu

On projette b=(2,0,3) sur la droite de direction u=(1,1,0), puis on examine le résidu.

Projeter orthogonalement sur une droite ou un plan

On projette b=(2,0,3) sur la droite de direction u=(1,1,0), puis on examine le résidu.

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Transformer le plan : translation, rotation, étirement et miroir

On étire p=(1,1) par S=diag(2,1), on le réfléchit dans l’axe y, on le tourne de 90°, puis on ajoute t=(1,0).

Le rappel qui sert ici. Les égalités gardent leurs hypothèses; ouvre une étape pour retrouver le sens de chaque opération.

Étendre le point en coordonnées homogènes $pₕ = [\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}]; S = [\begin{matrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \Rightarrow Spₕ = [\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}]$
Pourquoi cette étape ? La dernière coordonnée 1 désigne un point. L’étirement double x et conserve y.
Appliquer le miroir dans l’axe y $M = [\begin{matrix} - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \Rightarrow MSpₕ = [\begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}]$
Pourquoi cette étape ? Le miroir dans l’axe y oppose x. Le miroir dans l’axe x opposerait y.
Tourner de 90° dans le sens antihoraire $R = [\begin{matrix} 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \Rightarrow RMSpₕ = [\begin{matrix} - 1 \\ - 2 \\ 1 \end{matrix}]$
Pourquoi cette étape ? La rotation transforme(x,y) en(−y,x). Les signes sont aussi importants que les modules.
Translater après les transformations linéaires $T = [\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \Rightarrow TRMSpₕ = [\begin{matrix} 0 \\ - 2 \\ 1 \end{matrix}]$
Pourquoi cette étape ? La colonne de translation ajoute (1,0) seulement au point, grâce à sa coordonnée homogène 1.
Assembler et vérifier l’effet global $H = TRMS = [\begin{matrix} 0 & - 1 & 1 \\ - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]; \det (H linéaire) = - 2$
Pourquoi cette étape ? La partie linéaire multiplie les aires par 2 et inverse l’orientation. Inverser l’ordre donne une autre matrice et généralement un autre point.

Règles, cas particuliers et autre exemple

Avec des vecteurs colonnes, le produit H=T R M S applique S en premier. Une rotation et un étirement utilisent une matrice 2×2; pour inclure la translation, on passe aux coordonnées homogènes 3×3 du plan. Le miroir peut inverser l’orientation; un facteur d’échelle nul écrase une dimension et rend la transformation non inversible. Un cisaillement horizontal transforme x en x+ky sans changer y. Chaque opération s’effectue autour de l’origine du repère, pas autour du centre visuel de l’objet. La composition du laboratoire comprend aussi un cisaillement et se lit dans l’ordre des opérations affichées.

Exemple résolu

On étire p=(1,1) par S=diag(2,1), on le réfléchit dans l’axe y, on le tourne de 90°, puis on ajoute t=(1,0).

Transformer le plan : translation, rotation, étirement et miroir

On étire p=(1,1) par S=diag(2,1), on le réfléchit dans l’axe y, on le tourne de 90°, puis on ajoute t=(1,0).

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Transformer un objet 3D : matrices 3×3 et 4×4

Le point p=(1,0,0) tourne de 90° autour de z, puis reçoit la translation t=(1,2,3).

Le rappel qui sert ici. Les égalités gardent leurs hypothèses; ouvre une étape pour retrouver le sens de chaque opération.

Écrire la rotation spatiale autour de z $Rz = [\begin{matrix} 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$
Pourquoi cette étape ? La rotation conserve z et transforme le plan xy comme la rotation plane précédente.
Calculer l’image avant translation $Rz [\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}]$
Pourquoi cette étape ? Le vecteur sur l’axe x tourne vers l’axe y positif.
Passer à une matrice 4×4 $H = [\begin{matrix} 0 & - 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$
Pourquoi cette étape ? Le bloc 3×3 porte la rotation; la dernière colonne porte la translation. Une matrice 3×3 seule ne peut pas translater tous les points de R³.
Transformer le point $H [\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}]$
Pourquoi cette étape ? On ajoute (1,2,3) au point tourné (0,1,0).
Comparer avec une direction $H [\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}]; \det (Rz) = 1$
Pourquoi cette étape ? Une direction ne reçoit pas la translation. La rotation conserve les longueurs et le volume; un étirement non uniforme ne conserve pas toutes les longueurs.

Règles, cas particuliers et autre exemple

Une matrice 3×3 transforme linéairement les vecteurs de R³. Pour ajouter une translation dans l’espace, il faut une matrice homogène 4×4 : H=[A t;0 1]. Un point porte une quatrième coordonnée 1; une direction porte 0. Les rotations autour de x,y,z, les échelles selon les axes, les miroirs dans les plans de coordonnées et le cisaillement se composent. Le volume est multiplié par |det A|. Le laboratoire montre un cube en vue orthographique : sa projection à l’écran ne permet pas de lire directement toutes les distances ou tous les angles réels.

Exemple résolu

Le point p=(1,0,0) tourne de 90° autour de z, puis reçoit la translation t=(1,2,3).

Transformer un objet 3D : matrices 3×3 et 4×4

Le point p=(1,0,0) tourne de 90° autour de z, puis reçoit la translation t=(1,2,3).

Les équations et les explications au clic restent disponibles sans JavaScript. Active-le pour manipuler le modèle et choisir les réponses.

Pour aller plus loin

Projections pondérées ou obliques, moindres carrés en grande dimension, SVD, coordonnées projectives et perspective, rotations par quaternions et conditionnement numérique restent à approfondir. Les représentations 3D sont orthographiques, avec résultats numériques dans les coordonnées réelles.