Matrices et algèbre linéaire

Prérequis : algèbre élémentaire et vecteurs. But : calculer et interpréter des matrices, résoudre des systèmes et changer de repère. Repères : MAT165 et MAT472. L’application aux transformations et repères est reliée à la géométrie utilisée en CAO, dans l’esprit de MEC129; ce parcours ne remplace aucun de ces cours.

Premier parcours universitaire · 10–15 h estimées · français

5 visuels et 10 exercices interactifs

Ces leçons forment un premier socle, sans équivalence de crédits universitaires. Les durées sont indicatives et incluent la pratique.

Lire et multiplier des matrices

A=[1,2;0,1] et B=[0,−1;1,0]. On calcule AB, puis BA, pour voir pourquoi l’ordre compte.

Le rappel qui sert ici. Les égalités gardent leurs hypothèses; ouvre une étape pour retrouver le sens de chaque opération.

Vérifier les dimensions $A : 2 \times 2; B : 2 \times 2 \Rightarrow AB : 2 \times 2$
Pourquoi cette étape ? Les deux dimensions intérieures sont égales à2. Les dimensions extérieures donnent la forme du résultat.
Calculer la première ligne $c₁₁ = 1 \times 0 + 2 \times 1 = 2; c₁₂ = 1 \times (- 1) + 2 \times 0 = - 1$
Pourquoi cette étape ? Pour chaque case, on garde la ligne 1 de A et on change de colonne dans B.
Calculer la deuxième ligne $c₂₁ = 0 \times 0 + 1 \times 1 = 1; c₂₂ = 0 \times (- 1) + 1 \times 0 = 0$
Pourquoi cette étape ? La seconde ligne de A sélectionne ici la seconde ligne de B.
Assembler le produit $AB = [\begin{matrix} 2 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}]$
Pourquoi cette étape ? La position de chaque calcul doit être conservée dans la matrice finale.
Inverser l’ordre pour comparer $BA = [\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}] \neq AB$
Pourquoi cette étape ? BA existe aussi, mais correspond à une autre composition. La première transformation appliquée à un vecteur est la matrice la plus à droite.

Règles, cas particuliers et autre exemple

Une matrice m×n possède m lignes et n colonnes. Le coefficient aᵢⱼ est à la ligne i et à la colonne j. Additionner exige les mêmes dimensions; multiplier A de taille m×n par B de taille n×p donne une matrice m×p. Chaque coefficient est un produit scalaire entre une ligne de A et une colonne de B. Ce produit est différent d’une multiplication coefficient par coefficient. La transposée échange lignes et colonnes; (AB)ᵀ=BᵀAᵀ.

Exemple résolu

A=[1,2;0,1] et B=[0,−1;1,0]. On calcule AB, puis BA, pour voir pourquoi l’ordre compte.

Lire et multiplier des matrices

A=[1,2;0,1] et B=[0,−1;1,0]. On calcule AB, puis BA, pour voir pourquoi l’ordre compte.

Les équations et les explications au clic restent disponibles sans JavaScript. Active-le pour manipuler le modèle et choisir les réponses.

Résoudre un système par Gauss-Jordan

On résout x+y=3 et 2x−y=0, en transformant les deux équations sans changer leurs solutions.

Le rappel qui sert ici. Les égalités gardent leurs hypothèses; ouvre une étape pour retrouver le sens de chaque opération.

Écrire la matrice augmentée $(A | b) = [\begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 2 & - 1 & 0 \end{matrix}]$
Pourquoi cette étape ? Les colonnes sont dans l’ordre x,y,second membre. Le même ordre doit être gardé à chaque ligne.
Éliminer x de la deuxième ligne $L₂ \leftarrow L₂ - 2 L₁ \Rightarrow [\begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & - 3 & - 6 \end{matrix}]$
Pourquoi cette étape ? On soustrait deux fois toute la première ligne, y compris son second membre.
Normaliser le second pivot $L₂ \leftarrow (- 1 / 3) L₂ \Rightarrow [\begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \end{matrix}]$
Pourquoi cette étape ? Diviser par−3 est autorisé car ce nombre est non nul. La seconde ligne dit maintenant y=2.
Éliminer y au-dessus du pivot $L₁ \leftarrow L₁ - L₂ \Rightarrow [\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{matrix}]$
Pourquoi cette étape ? Le bloc de gauche devient l’identité : chaque variable est isolée.
Vérifier dans les équations initiales $x = 1, y = 2 \Rightarrow 1 + 2 = 3; 2 \times 1 - 2 = 0$
Pourquoi cette étape ? La substitution constitue une vérification indépendante des opérations de lignes.

Règles, cas particuliers et autre exemple

La matrice augmentée (A|b) conserve les coefficients et le second membre. Échanger deux lignes, multiplier une ligne par un nombre non nul ou ajouter un multiple d’une autre ligne conserve l’ensemble des solutions. Un pivot est le premier coefficient non nul d’une ligne échelonnée; il sert à éliminer les autres coefficients de sa colonne. Une ligne 0=nombre non nul signale une incompatibilité. Sans contradiction, les colonnes sans pivot donnent des variables libres.

Exemple résolu

On résout x+y=3 et 2x−y=0, en transformant les deux équations sans changer leurs solutions.

Résoudre un système par Gauss-Jordan

On résout x+y=3 et 2x−y=0, en transformant les deux équations sans changer leurs solutions.

Les équations et les explications au clic restent disponibles sans JavaScript. Active-le pour manipuler le modèle et choisir les réponses.

Déterminant, inverse et aire

A=[2,1;1,1]. On cherche son déterminant, son inverse et la solution de Ax=[3;2].

Le rappel qui sert ici. Les égalités gardent leurs hypothèses; ouvre une étape pour retrouver le sens de chaque opération.

Calculer le déterminant $\det (A) = 2 \times 1 - 1 \times 1 = 1$
Pourquoi cette étape ? Les deux produits croisés sont soustraits. Un résultat positif conserve l’orientation du plan.
Échanger la diagonale et changer les signes hors diagonale $adj (A) = [\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{matrix}]$
Pourquoi cette étape ? Cette formule est propre au cas 2×2; elle prépare l’inversion.
Diviser toute la matrice par le déterminant $A ⁻ ¹ = adj (A) / 1 = [\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{matrix}]$
Pourquoi cette étape ? Le déterminant est non nul, donc cette division est permise.
Appliquer l’inverse au second membre $x = A ⁻ ¹ [\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 3 - 2 \\ - 3 + 4 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}]$
Pourquoi cette étape ? Le produit ligne-colonne s’applique aussi à un vecteur colonne.
Contrôler l’inversion et la solution $AA ⁻ ¹ = I₂; A [\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}]$
Pourquoi cette étape ? Les deux identités vérifient des propriétés différentes : l’inverse et la solution pour ce second membre.

Règles, cas particuliers et autre exemple

Pour une matrice 2×2, det(A)=ad−bc. Géométriquement, il donne le facteur d’aire signé de l’image du carré unité. Une matrice carrée est inversible exactement quand son déterminant est non nul. Son inverse défait l’action de A; ce n’est pas la matrice obtenue en prenant l’inverse de chaque coefficient. Un déterminant nul exclut une solution unique pour tous les seconds membres, mais ne dit pas à lui seul si un système donné a zéro ou une infinité de solutions. Le rang permet de préciser la dimension de l’image et celle du noyau.

Exemple résolu

A=[2,1;1,1]. On cherche son déterminant, son inverse et la solution de Ax=[3;2].

Déterminant, inverse et aire

A=[2,1;1,1]. On cherche son déterminant, son inverse et la solution de Ax=[3;2].

Les équations et les explications au clic restent disponibles sans JavaScript. Active-le pour manipuler le modèle et choisir les réponses.

Transformations, repères et coordonnées homogènes

Le point local p=(1,0) subit une rotation de 90°, puis une translation de(2,1). On compare l’ordre inverse.

Le rappel qui sert ici. Les égalités gardent leurs hypothèses; ouvre une étape pour retrouver le sens de chaque opération.

Écrire la rotation à90° $R = [\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}]; Rp = [\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}]$
Pourquoi cette étape ? Le cosinus vaut 0 et le sinus 1. Une rotation positive est antihoraire dans le repère cartésien choisi.
Ajouter la translation ensuite $p′ = Rp + t = [\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix}]$
Pourquoi cette étape ? La translation déplace le point déjà tourné, dans les coordonnées du repère global.
Regrouper en coordonnées homogènes $H = [\begin{matrix} 0 & - 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]; H [\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}]$
Pourquoi cette étape ? La dernière coordonnée 1 active la colonne de translation. La matrice à droite agit en premier.
Comparer l’ordre inverse $R (p + t) = R [\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} - 1 \\ 3 \end{matrix}] \neq [\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix}]$
Pourquoi cette étape ? Tourner après avoir translaté tourne aussi le déplacement. Les transformations affines ne commutent pas en général.
Distinguer une direction d’un point $H [\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}]$
Pourquoi cette étape ? La coordonnée homogène 0 supprime l’effet de la translation sur une direction.

Règles, cas particuliers et autre exemple

En convention vecteurs colonnes, une rotation plane vaut R(θ)=[cosθ,−sinθ;sinθ,cosθ]. Une translation n’est pas une application linéaire du plan car elle ne fixe pas l’origine. Les coordonnées homogènes représentent les points par(x,y,1) et les directions par(dx,dy,0); une matrice 3×3 peut alors composer rotation et translation. Pour un changement de base x=Pc, les colonnes de P sont les nouveaux vecteurs de base; les coordonnées sont c=P⁻¹x si ces colonnes sont indépendantes. Cette application géométrique éclaire les repères en CAO, sans enseigner un logiciel ou prétendre couvrir MEC129.

Exemple résolu

Le point local p=(1,0) subit une rotation de 90°, puis une translation de(2,1). On compare l’ordre inverse.

Transformations, repères et coordonnées homogènes

Le point local p=(1,0) subit une rotation de 90°, puis une translation de(2,1). On compare l’ordre inverse.

Les équations et les explications au clic restent disponibles sans JavaScript. Active-le pour manipuler le modèle et choisir les réponses.

Valeurs propres et diagonalisation

A=[2,1;1,2]. On cherche des directions conservées par A, puis on utilise cette base pour calculer A²(1,0).

Le rappel qui sert ici. Les égalités gardent leurs hypothèses; ouvre une étape pour retrouver le sens de chaque opération.

Chercher les valeurs propres $\det (A - λI) = (2 - λ) ² - 1 = (λ - 3) (λ - 1) = 0$
Pourquoi cette étape ? Soustraire λ sur la diagonale transforme Av=λv en un système homogène.
Trouver une direction pour λ=3 $(A - 3 I) v = 0 \Rightarrow - x + y = 0 \Rightarrow v₁ = [\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}]$
Pourquoi cette étape ? Tout multiple non nul convient. Le vecteur nul n’est jamais un vecteur propre.
Trouver une direction pour λ=1 $(A - I) v = 0 \Rightarrow x + y = 0 \Rightarrow v₂ = [\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix}]$
Pourquoi cette étape ? Ces deux directions sont orthogonales, donc indépendantes et forment une base du plan.
Changer de base $P = [\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix}]; D = [\begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]; A = PDP ⁻ ¹$
Pourquoi cette étape ? Chaque colonne de P correspond à la valeur propre placée dans la même colonne de D.
Calculer une puissance dans cette base $A² = P [\begin{matrix} 9 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] P ⁻ ¹ \Rightarrow A² [\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix}]$
Pourquoi cette étape ? Dans la base propre, les deux composantes sont multipliées par 9 et 1; on revient ensuite aux coordonnées usuelles.

Règles, cas particuliers et autre exemple

Un vecteur propre v est non nul et satisfait Av=λv : A change sa longueur et éventuellement son sens, sans changer sa droite. Les valeurs propres sont les racines de det(A−λI)=0. Une matrice n×n est diagonalisable si elle possède une base de n vecteurs propres indépendants, pas simplement n valeurs propres comptées avec multiplicité. Toute matrice réelle symétrique admet une base orthonormale de vecteurs propres. Le laboratoire distingue cette famille d’un bloc de Jordan non diagonalisable.

Exemple résolu

A=[2,1;1,2]. On cherche des directions conservées par A, puis on utilise cette base pour calculer A²(1,0).

Valeurs propres et diagonalisation

A=[2,1;1,2]. On cherche des directions conservées par A, puis on utilise cette base pour calculer A²(1,0).

Les équations et les explications au clic restent disponibles sans JavaScript. Active-le pour manipuler le modèle et choisir les réponses.

Pour aller plus loin

Espaces vectoriels généraux, Gram–Schmidt, déterminants par cofacteurs en dimension supérieure, systèmes paramétriques, valeurs propres complexes, SVD et calcul numérique du conditionnement restent à approfondir. Les visuels géométriques portent sur le plan; un système3×3 illustre aussi la méthode de réduction.

Autres repères : MAT165 — algèbre matricielle et MEC129 — conception assistée par ordinateur. Le lien avec la CAO est une application de repères; aucune couverture complète de MEC129 n’est revendiquée.