Fluides et Bernoulli

Prérequis : forces, énergie, unités SI. But : établir un bilan entre deux stations et décider quelles simplifications sont permises. Eau : ρ=1 000 kg/m³; g=9,81 m/s²; pression atmosphérique si requise : 101,3 kPa.

Premier parcours universitaire · 8–12 h estimées · français

5 visuels et 10 exercices interactifs

Ces leçons forment un premier socle, sans équivalence de crédits universitaires. Les durées sont indicatives et incluent la pratique.

Pression hydrostatique

D’une pression répartie à la force sur une porte

Porte verticale de largeur 1 m et hauteur 2 m, dont le haut est à la surface de l’eau. L’autre côté est à l’air. On cherche la force nette et sa ligne d’action.

Le rappel qui sert ici. Dans l’eau au repos, la surpression à profondeur y vaut ρgy. Une bande horizontale de hauteur dy a une aire b dy. Reprendre ce rappel avec un exemple.

Choisir la même référence de pression $pₙₑₜ (y) = ρgy$
Pourquoi cette étape ? La pression atmosphérique agit de chaque côté et se compense. Pour la force nette, on utilise ici la pression manométrique de l’eau.
Écrire la force d’une bande $dF = pₙₑₜ (y) b dy = ρgby dy$
Pourquoi cette étape ? La force varie avec la profondeur; on ne peut pas appliquer partout la pression du bas.
Additionner toutes les bandes $F = \int ₀ᴴ ρgby dy = \frac{ρgb}{2} H^{2} = 19620 N$
Pourquoi cette étape ? La primitive de y est y²/2. Avec ρ=1000, g=9,81, b=1 et H=2, on obtient 19 620 N.
Calculer le moment de la distribution $M = \int ₀ᴴ y dF = \frac{ρgb}{3} H^{3}$
Pourquoi cette étape ? Chaque bande contribue son effort multiplié par son bras de levier y depuis la surface.
Déduire le centre de pression $y ꜀ = \frac{M}{F} = \frac{2 H}{3} \approx 1,33333 m$
Pourquoi cette étape ? La force est plus forte au bas de la porte. La ligne d’action est donc sous le centre géométrique H/2=1 m.

Règles, cas particuliers et autre exemple

Au repos avec z vers le haut, dp/dz=−ρg. Pour un fluide incompressible, la pression augmente de ρgh à la profondeur h. La pression manométrique est la différence avec l’ambiance; la pression absolue garde le vide comme référence. Une paroi reçoit une force distribuée, donc la résultante se calcule par ∫p dA; elle n’agit pas toujours au centre géométrique. La poussée d’Archimède est égale au poids du fluide déplacé, dans les conditions hydrostatiques usuelles.

Exemple résolu

à 2 m sous une surface d’eau à l’air, p manométrique=19,62 kPa; p absolue=120,92 kPa. Mélanger ces deux références dans un même bilan produit une erreur de 101,3 kPa.

Pression, profondeur et force sur une porte

Eau au repos à 3 m : surpression 29 430 Pa. Porte 1×2 m depuis la surface : force nette 19 620 N, centre de pression à 1,3333 m.

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Continuité et débit

Conserver le débit avant de calculer la vitesse

Débit d’eau Q=0,002 m³/s. Le diamètre passe de 0,050 m à 0,025 m en régime permanent incompressible.

Le rappel qui sert ici. Aire d’un disque A=πD²/4. Q=Av utilise la vitesse moyenne de section, pas forcément la vitesse locale au centre.

Calculer l’aire de la première section $A₁ = \frac{πD₁²}{4} \approx 0,00196350 m²$
Pourquoi cette étape ? Le diamètre entre au carré. La formule utilise un diamètre, pas un rayon.
Trouver la vitesse moyenne amont $v₁ = \frac{Q}{A₁} \approx 1,01859 m / s$
Pourquoi cette étape ? Un volume par seconde divisé par une aire donne une longueur par seconde.
Comparer les aires $\frac{A₂}{A₁} = {\frac{D₂}{D₁}}^{2} = \frac{1}{4}$
Pourquoi cette étape ? Diviser le diamètre par deux ne divise pas l’aire par deux : l’aire devient quatre fois plus petite.
Appliquer la conservation de masse $ρA₁v₁ = ρA₂v₂ \Rightarrow v₂ = 4 v₁ \approx 4,07437 m / s$
Pourquoi cette étape ? Le régime est permanent et la même eau traverse les deux sections. Sans ces hypothèses, il faudrait conserver aussi l’accumulation ou la variation de densité.
Vérifier le débit aux deux stations $A₁v₁ = A₂v₂ = 0,002 m³ / s$
Pourquoi cette étape ? La vitesse change, pas le débit imposé. Cette étape ne donne encore aucune pression.

Règles, cas particuliers et autre exemple

Un volume de contrôle conserve la masse : accumulation=entrées−sorties. En régime permanent à une entrée et une sortie, ρ₁A₁v₁=ρ₂A₂v₂. Pour un liquide incompressible, Q=Av est le même aux deux stations et ṁ=ρQ. Les vitesses sont ici des vitesses moyennes de section. Un diamètre divisé par deux donne une aire divisée par quatre; confondre diamètre et aire fausse immédiatement le bilan.

Exemple résolu

Q=0,002 m³/s dans une conduite de diamètre 0,05 m. A=πD²/4≈0,00196350 m² et v≈1,01859 m/s. Si le diamètre devient 0,025 m, la vitesse devient environ 4,07437 m/s, sous hypothèse de débit inchangé.

Conserver un débit ou accumuler du volume

Q=2 L/s, diamètre de 50 à 25 mm : vitesse de 1,01859 à 4,07437 m/s. Réservoir A=2 m² : débit net 6 L/s, montée 0,003 m/s.

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Bernoulli et ses hypothèses

Bernoulli après la continuité

Conduite horizontale idéale : p₁=150 kPa manométriques, v₁=2 m/s et A₂=A₁/2. Eau de masse volumique 1000 kg/m³.

Le rappel qui sert ici. Chaque charge p/(ρg), v²/(2g) et z est en mètres. On compare la même ligne de courant, en régime permanent incompressible, sans pompe ni pertes.

Trouver d’abord la vitesse à la sortie $v₂ = \frac{A₁}{A₂} v₁ = 4 m / s$
Pourquoi cette étape ? La continuité détermine la vitesse. Bernoulli utilise cette vitesse, mais ne la remplace pas.
Écrire les trois termes d’énergie $\frac{p₁}{ρg} + \frac{v₁²}{2 g} + z₁ = \frac{p₂}{ρg} + \frac{v₂²}{2 g} + z₂$
Pourquoi cette étape ? Aucune dissipation ni machine n’ajoute de terme. La même référence manométrique est utilisée aux deux stations.
Supprimer seulement les altitudes égales $z₁ = z₂ \Rightarrow p₂ - p₁ = \frac{ρ}{2} (v₁² - v₂²)$
Pourquoi cette étape ? Horizontal signifie ici z₁=z₂. Une conduite qui descend peut au contraire voir sa pression augmenter malgré l’accélération du fluide.
Calculer la variation en pascals $Δp = 500 (4 - 16) = - 6000 Pa = - 6 kPa$
Pourquoi cette étape ? La vitesse est au carré et le résultat est en Pa lorsque ρ est en kg/m³ et v en m/s.
Ajouter la variation à la pression initiale $p₂ = 150 - 6 = 144 kPa manométriques$
Pourquoi cette étape ? La chute de 6 kPa n’est pas la pression finale. Dans ce modèle idéal, la charge totale reste constante.

Règles, cas particuliers et autre exemple

Pour un écoulement permanent, incompressible, sans dissipation ni machine entre deux points d’une même ligne de courant, p/(ρg)+v²/(2g)+z=constante. Chaque terme est une énergie par unité de poids, en mètres. Les pressions peuvent être manométriques si la même référence s’applique partout. Une augmentation de vitesse ne fait pas toujours baisser la pression : altitude, pertes, pompe et conditions aux limites interviennent. Commencer par les hypothèses empêche de transformer Bernoulli en formule universelle.

Exemple résolu

rétrécissement horizontal, v₁=1 et v₂=2 m/s dans l’eau. p₂−p₁=ρ(v₁²−v₂²)/2=−1 500 Pa. Le débit fixe les vitesses et le bilan d’énergie donne la différence de pression; l’ordre de raisonnement est essentiel.

Échanger pression, vitesse et altitude

Bernoulli idéal, même altitude : v₁=2 m/s, A₂/A₁=0,5, p₁=150 kPa relatifs donnent v₂=4 m/s et p₂=144 kPa.

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Viscosité, pertes et pompe

Quantifier une perte de charge de Darcy

Tube circulaire : f=0,020 de Darcy, L=10 m, D=0,050 m et vitesse moyenne 2 m/s. On ne choisit pas ici f avec une corrélation.

Le rappel qui sert ici. Une perte hL est une énergie dissipée par unité de poids, en mètres. Le facteur de Darcy vaut quatre fois celui de Fanning.

Former le rapport géométrique $\frac{L}{D} = 200$
Pourquoi cette étape ? L et D doivent avoir la même unité; leur rapport est sans dimension.
Calculer la charge cinétique $\frac{v²}{2 g} = \frac{4}{19,62} \approx 0,203874 m$
Pourquoi cette étape ? Ce terme a l’unité d’une longueur; ce n’est pas une pression.
Appliquer Darcy–Weisbach $hL = f \frac{L}{D} \frac{v²}{2 g} \approx 0,815494 m$
Pourquoi cette étape ? 0,020×200×0,203874 donne la perte mécanique sur le tube. Une perte est positive dans le sens de l’écoulement.
Convertir la perte en pression $Δpₗ = ρg hL = 8000 Pa$
Pourquoi cette étape ? Pour même diamètre et même altitude, sans machine, la pression aval diminue de cette valeur. Ce n’est pas un gain de pression.
Relier la pompe au rendement $Pₕ = ρgQhₚ, Pₐᵦₛ = \frac{Pₕ}{η}$
Pourquoi cette étape ? Une pompe doit fournir les pertes et toute autre charge demandée. Avec η<1, l’entrée est supérieure à la puissance hydraulique, donc on divise par η.

Règles, cas particuliers et autre exemple

Un fluide réel dissipe de l’énergie mécanique. Le bilan en charges s’écrit p₁/ρg+v₁²/2g+z₁+hₚ=p₂/ρg+v₂²/2g+z₂+hL sans turbine. Darcy–Weisbach donne hL=f(L/D)v²/(2g) avec facteur de Darcy; ne pas le confondre avec celui de Fanning. Reynolds Re=ρvD/μ aide à qualifier le régime; en écoulement laminaire pleinement développé dans un tube circulaire, f=64/Re. La puissance hydraulique de pompe vaut ρgQhₚ, et sa puissance absorbée se déduit du rendement.

Exemple résolu

f=0,02, L=10 m, D=0,05 m, v=2 m/s. hL≈0,815494 m, soit Δp=ρghL=8 000 Pa. Ajouter une pompe exige de fournir cette énergie, en plus de toute élévation géométrique.

Ajouter les pertes et la pompe au bilan

fD=0,02, L=10 m, D=0,05 m et v=2 m/s : perte 0,815494 m, soit 8 000 Pa. Pompe 10 m à 2 L/s : 196,2 W utiles.

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Quantité de mouvement et force d’un jet

Un coude change un vecteur vitesse

Jet d’eau idéal de Q=0,001 m³/s, entrée (10;0) m/s et sortie (0;10) m/s. Pressions manométriques nulles aux stations, poids négligé.

Le rappel qui sert ici. Le bilan permanent est ΣF=ṁ(vsortie−ventrée). Il porte sur le corps fluide choisi; l’action sur le coude est opposée.

Trouver le débit massique $ṁ = ρQ = 1000 \times 0,001 = 1 kg / s$
Pourquoi cette étape ? Le volume par seconde devient une masse par seconde après multiplication par ρ.
Soustraire les vecteurs, pas leurs normes $v₂ - v₁ = (0; 10) - (10; 0) = (- 10; + 10) m / s$
Pourquoi cette étape ? Les normes des vitesses sont égales mais leurs directions diffèrent; leur différence vectorielle n’est pas nulle.
Calculer la force sur le fluide $F ꜀ \to ꜰ = ṁ (v₂ - v₁) = (- 10; + 10) N$
Pourquoi cette étape ? Les efforts de pression manométrique et le poids sont nuls ou négligés dans cet exemple. Dans un coude pressurisé réel, ils devraient être inclus.
Changer de corps étudié $Fꜰ \to ꜀ = - F ꜀ \to ꜰ = (+ 10; - 10) N$
Pourquoi cette étape ? La troisième loi de Newton inverse le vecteur. Le signe demandé dépend du corps qui reçoit la force.
Retrouver la norme $| F | = \sqrt (10 ² + (- 10) ²) = 10 \sqrt 2 \approx 14,1421 N$
Pourquoi cette étape ? Une norme est positive. Elle ne remplace pas les deux composantes nécessaires pour dimensionner un support.

Règles, cas particuliers et autre exemple

Un bilan de quantité de mouvement relie les forces extérieures au transport de ρQv. En régime permanent à profils uniformes, ΣF=Σsorties ṁv−Σentrées ṁv. Ce bilan est vectoriel; une déviation de jet produit une force même si sa vitesse garde la même norme. Inclure les forces de pression et le poids si elles ne s’annulent pas. La force du support sur le fluide et celle du fluide sur le support ont des sens opposés.

Exemple résolu

jet d’eau Q=0,001 m³/s, v=10 m/s suivant +x, arrêté suivant x par une plaque et évacué latéralement. ṁ=1 kg/s; force de la plaque sur le fluide suivant x=−10 N; le fluide pousse la plaque vers +x avec 10 N. On néglige ici le poids et la pression manométrique des jets libres.

Du changement de vitesse à la force

Jet 1 L/s dévié de +x vers +y à 10 m/s : force sur le fluide (−10;+10) N, sur le solide (+10;−10) N.

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Pour aller plus loin

Transport de Reynolds général, profils non uniformes, réseaux de conduites, pertes singulières, cavitation et NPSH, similitude, couches limites, Navier–Stokes et compressibilité. Les simulations du socle ne sont pas des outils de dimensionnement industriel certifiés.