Probabilités et statistiques avancées

Prérequis : PRO, dérivées et intégrales. But : choisir un modèle de comptage, quantifier l’incertitude et planifier une analyse. Les observations des visuels sont synthétiques; les hypothèses de chaque procédure sont explicites.

Premier parcours universitaire · 10–15 h estimées · français

5 visuels et 10 exercices interactifs

Ces leçons forment un premier socle, sans équivalence de crédits universitaires. Les durées sont indicatives et incluent la pratique.

Comptages rares et prélèvements sans remise

Un atelier observe en moyenne deux pannes par heure. Un autre contrôle prélève cinq pièces sans remise dans un lot de vingt, dont cinq défectueuses.

Le rappel qui sert ici. Les égalités gardent leurs hypothèses; ouvre une étape pour retrouver le sens de chaque opération.

Définir le paramètre sur la durée $m = λt = 2 \times 1 = 2$
Pourquoi cette étape ? Le taux est en pannes par heure; multiplier par une heure donne un nombre moyen sans unité de temps.
Calculer exactement une panne $P (X = 1) = e ⁻ ² 2 ¹ / 1! \approx 0,270671$
Pourquoi cette étape ? La factorielle 1! vaut 1. Cette probabilité n’est pas la densité d’une durée d’attente.
Passer à au moins une panne $P (X \geq 1) = 1 - P (X = 0) = 1 - e ⁻ ² \approx 0,864665$
Pourquoi cette étape ? Les comptages zéro et au moins un sont complémentaires.
Compter un tirage sans remise $P (Y = 0) = C (5,0) C (15,5) / C (20,5) = 3003 / 15504$
Pourquoi cette étape ? Le numérateur choisit zéro défaut et cinq bonnes pièces. Le dénominateur compte tous les groupes de cinq.
Retrouver le complément et la dépendance $P (Y \geq 1) = 1 - 3003 / 15504 \approx 0,806308$
Pourquoi cette étape ? Utiliser 1−0,75⁵ donnerait une approximation avec remise. Le visuel distingue les deux modèles.

Règles, cas particuliers et autre exemple

Une loi de Poisson modélise un nombre d’événements sur une durée quand les accroissements disjoints sont indépendants et le taux constant. Sa moyenne et sa variance valent λt. Un prélèvement sans remise crée au contraire une dépendance : après chaque pièce, la composition du lot change. La loi hypergéométrique compte les choix possibles, sans inventer une indépendance.

Exemple résolu

Un atelier observe en moyenne deux pannes par heure. Un autre contrôle prélève cinq pièces sans remise dans un lot de vingt, dont cinq défectueuses.

Comptages rares et prélèvements sans remise

Un atelier observe en moyenne deux pannes par heure. Un autre contrôle prélève cinq pièces sans remise dans un lot de vingt, dont cinq défectueuses.

Les équations et les explications au clic restent disponibles sans JavaScript. Active-le pour manipuler le modèle et choisir les réponses.

Théorème central limite et moyenne asymétrique

Des durées indépendantes suivent une exponentielle de moyenne 1 h et de variance 1 h². On standardise la moyenne de neuf durées.

Le rappel qui sert ici. Les égalités gardent leurs hypothèses; ouvre une étape pour retrouver le sens de chaque opération.

Distinguer mesure et moyenne $E [X] = 1; Var (X) = 1; E [X ̄] = 1$
Pourquoi cette étape ? Une moyenne reste centrée sur le même paramètre, tandis que sa dispersion change.
Additionner les variances indépendantes $Var (X ̄) = n / n² = 1 / n = 1 / 9$
Pourquoi cette étape ? Le facteur 1/n multiplie chaque observation; son carré apparaît dans la variance.
Prendre la racine au bon endroit $σ (X ̄) = 1 / \sqrt n = 1 / 3$
Pourquoi cette étape ? La variance a une unité au carré; l’erreur-type a la même unité que la durée.
Standardiser une moyenne observée $X ̄ = 1,5 \Rightarrow Z = (1,5 - 1) / (1 / 3) = 1,5$
Pourquoi cette étape ? Soustraire la moyenne puis diviser par l’erreur-type permet la comparaison sur une échelle commune.
Lire une approximation avec ses limites $P (X ̄ \leq 1,5) \approx Φ (1,5) \approx 0,933193$
Pourquoi cette étape ? À n=9, la distribution Gamma exacte reste asymétrique. Le rapprochement vers la normale se vérifie quand n grandit.

Règles, cas particuliers et autre exemple

Le théorème central limite concerne une moyenne standardisée lorsque n augmente, sous des hypothèses telles que des observations indépendantes de même loi à variance finie. Il ne transforme pas chaque observation en normale. Pour nos exponentielles, la somme suit exactement une loi Gamma; on peut donc comparer une densité exacte à l’approximation normale, au lieu de déduire la précision du seul dessin.

Exemple résolu

Des durées indépendantes suivent une exponentielle de moyenne 1 h et de variance 1 h². On standardise la moyenne de neuf durées.

Théorème central limite et moyenne asymétrique

Des durées indépendantes suivent une exponentielle de moyenne 1 h et de variance 1 h². On standardise la moyenne de neuf durées.

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Student : estimer quand σ est inconnu

Cinq mesures indépendantes normales donnent x̄=10,2 mm et un écart-type d’échantillon s=0,5 mm. La référence est 10 mm.

Le rappel qui sert ici. Les égalités gardent leurs hypothèses; ouvre une étape pour retrouver le sens de chaque opération.

Identifier les degrés de liberté $ν = n - 1 = 4$
Pourquoi cette étape ? Estimer la moyenne impose une relation entre les écarts; il reste quatre écarts indépendants.
Calculer l’erreur-type estimée $SE = s / \sqrt n = 0,5 / \sqrt 5 \approx 0,223607 mm$
Pourquoi cette étape ? s décrit la dispersion des mesures. SE décrit celle de la moyenne estimée.
Choisir le quantile adapté $t (0,975; 4) \approx 2,776445$
Pourquoi cette étape ? Un intervalle bilatéral à 95 % laisse 2,5 % dans chaque queue. Le quantile 1,96 serait trop petit ici.
Construire l’intervalle $IC = 10,2 \pm 2,776445 \times 0,223607 \approx [9,579168; 10,820832]$
Pourquoi cette étape ? Multiplie le quantile par SE, puis soustrais et ajoute cette marge à la moyenne observée.
Tester sans confondre les conclusions $t \approx 0,894427; p \approx 0,421648 > 0,05$
Pourquoi cette étape ? La référence 10 appartient à l’intervalle. Ne pas rejeter ne prouve pas une égalité physique exacte.

Règles, cas particuliers et autre exemple

Quand σ est inconnu, on estime sa valeur par s, calculé avec le dénominateur n−1. Sous une population normale et des observations indépendantes, T=(X̄−μ)/(S/√n) suit Student à n−1 degrés de liberté. Les queues plus épaisses reflètent l’incertitude de S. Pour de petits échantillons fortement non normaux, ce calcul n’est plus garanti par cette démonstration.

Exemple résolu

Cinq mesures indépendantes normales donnent x̄=10,2 mm et un écart-type d’échantillon s=0,5 mm. La référence est 10 mm.

Student : estimer quand σ est inconnu

Cinq mesures indépendantes normales donnent x̄=10,2 mm et un écart-type d’échantillon s=0,5 mm. La référence est 10 mm.

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Puissance, effet et taille d’échantillon

On teste μ=10 mm à 5 %, avec σ connu=1 mm, n=25 et une différence réelle δ=0,5 mm.

Le rappel qui sert ici. Les égalités gardent leurs hypothèses; ouvre une étape pour retrouver le sens de chaque opération.

Fixer la règle sous H₀ $Rejeter si | Z | > 1,959964$
Pourquoi cette étape ? Les deux queues totalisent α=0,05 sous la référence.
Calculer l’échelle de la moyenne $SE = 1 / \sqrt 25 = 0,2 mm$
Pourquoi cette étape ? Augmenter n réduit SE, sans réduire la dispersion individuelle σ.
Déplacer la statistique sous H₁ $Z suit N (δ / SE; 1) = N (2,5; 1)$
Pourquoi cette étape ? Une différence réelle de 0,5 correspond à 2,5 erreurs-types.
Intégrer la région de non-rejet $β = Φ (1,959964 - 2,5) - Φ (- 1,959964 - 2,5) \approx 0,294582$
Pourquoi cette étape ? β est calculé sous cette alternative, entre les deux seuils fixes.
Passer à la puissance $Puissance = 1 - β \approx 0,705418$
Pourquoi cette étape ? À cet effet réel, environ 70,5 % des répétitions idéales rejettent. Cela ne signifie pas que 70,5 % des hypothèses sont vraies.

Règles, cas particuliers et autre exemple

Le risque α est fixé sous H₀ avant le test. La puissance est la probabilité de rejeter sous une alternative particulière; elle dépend de l’effet réel supposé, de σ et de n. Elle ne se calcule pas en déclarant que H₀ est probablement vraie. Ici, un test bilatéral normal à σ connu permet un calcul direct, sans estimer la puissance à partir d’un petit échantillon déjà observé.

Exemple résolu

On teste μ=10 mm à 5 %, avec σ connu=1 mm, n=25 et une différence réelle δ=0,5 mm.

Puissance, effet et taille d’échantillon

On teste μ=10 mm à 5 %, avec σ connu=1 mm, n=25 et une différence réelle δ=0,5 mm.

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Mise à jour bayésienne Beta–Bernoulli

Une probabilité de défaut p inconnue suit un a priori Beta(2,2). Parmi vingt pièces indépendantes, six sont défectueuses.

Le rappel qui sert ici. Les égalités gardent leurs hypothèses; ouvre une étape pour retrouver le sens de chaque opération.

Écrire la forme de l’a priori $π (p) \propto p¹ (1 - p) ¹; 0 \leq p \leq 1$
Pourquoi cette étape ? Pour Beta(a,b), les exposants sont a−1 et b−1, pas a et b.
Écrire la vraisemblance $L (p) \propto p⁶ (1 - p) ¹⁴$
Pourquoi cette étape ? La constante de combinaison ne dépend pas de p et s’absorbe dans la normalisation.
Additionner les exposants $π (p | données) \propto p⁷ (1 - p) ¹⁵$
Pourquoi cette étape ? Multiplier des puissances de même base additionne leurs exposants.
Reconnaître la famille $p | données suit Beta (8,16)$
Pourquoi cette étape ? Les paramètres sont les exposants augmentés de un.
Prédire une nouvelle pièce $P (défaut suivant | données) = 8 / 24 = 1 / 3$
Pourquoi cette étape ? La prédiction intègre p sur la loi a posteriori. Elle diffère de la fréquence 6/20=0,3 et ne garantit pas le prochain résultat.

Règles, cas particuliers et autre exemple

La vraisemblance décrit les données conditionnellement à p. Un a priori représente l’incertitude sur p avant ces données. Leur produit, renormalisé, donne la loi a posteriori. Pour un paramètre Bernoulli commun, la famille Beta est conjuguée. Cette conclusion dépend de l’échangeabilité et du modèle : une dérive du procédé ne se corrige pas en additionnant aveuglément tous les comptages.

Exemple résolu

Une probabilité de défaut p inconnue suit un a priori Beta(2,2). Parmi vingt pièces indépendantes, six sont défectueuses.

Mise à jour bayésienne Beta–Bernoulli

Une probabilité de défaut p inconnue suit un a priori Beta(2,2). Parmi vingt pièces indépendantes, six sont défectueuses.

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Pour aller plus loin

Tests de deux populations, ANOVA, diagnostics de régression, estimation robuste, bootstrap, chaînes de Markov et modèles hiérarchiques restent à développer. Les cinq leçons présentes ne couvrent pas tout MAT350.