Calcul multivariable

Prérequis : calcul différentiel et intégral à une variable. But : modéliser une quantité qui varie dans l’espace, puis calculer sa variation ou son accumulation.

Premier parcours universitaire · 10–15 h estimées · français

5 visuels et 10 exercices interactifs

Ces leçons forment un premier socle, sans équivalence de crédits universitaires. Les durées sont indicatives et incluent la pratique.

Vecteurs, projections et systèmes

Projeter (3 ; 4) sur (1 ; 0)

La projection isole la composante parallèle à une direction.

Le rappel qui sert ici. Un produit scalaire multiplie les composantes correspondantes puis les additionne.

Calculer le produit scalaire $u \cdot v = 3 \times 1 + 4 \times 0 = 3$
Pourquoi cette étape ? Seule la composante horizontale contribue ici, car v ne possède pas de composante verticale.
Corriger la longueur de la direction $v \cdot v = 1, facteur = \frac{3}{1} = 3$
Pourquoi cette étape ? Diviser par v·v rend la formule valable même si la direction n’est pas unitaire.
Construire la projection et le résidu $projection = (3; 0), résidu = (0; 4)$
Pourquoi cette étape ? Multiplie v par 3, puis soustrais ce vecteur de u.
Vérifier la perpendicularité $(3; 0) \cdot (0; 4) = 0$
Pourquoi cette étape ? Un produit scalaire nul confirme que le résidu est perpendiculaire à la direction projetée.

Règles, cas particuliers et autre exemple

Une force possède une direction et une norme. Le produit scalaire u·v=Σuᵢvᵢ mesure leur alignement; la projection de u sur v non nul est (u·v)/(v·v) v. Le produit vectoriel donne une direction normale, utile pour les moments. Un système linéaire Ax=b rassemble plusieurs contraintes. On le résout par opérations élémentaires sur les lignes; une ligne 0=1 signale une incompatibilité, une variable libre une famille de solutions. Un déterminant nul empêche l’inversion mais ne signifie pas forcément absence de solution.

Exemple résolu

x+y=3, 2x−y=0. Additionner les équations donne 3x=3, donc x=1, puis y=2. Le résidu Ax−b vaut (0,0), ce qui vérifie les deux contraintes.

Projeter un vecteur

u = (3 ; 4), v = (1 ; 0). La projection de u sur v est (3 ; 0).

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Dérivées partielles et gradient

Calculer une dérivée dans une direction

On utilise T=3x²+y² au point (1 ; 2), vers le haut : u=(0 ; 1).

Le rappel qui sert ici. Une dérivée partielle utilise les mêmes règles qu’en une variable, en gardant l’autre variable fixe. Reprendre ce rappel avec un exemple.

Dériver selon x puis selon y $\frac{\partial T}{\partial x} = 6 x, \frac{\partial T}{\partial y} = 2 y$
Pourquoi cette étape ? Pour la première dérivée, y² est une constante. Pour la seconde, 3x² est une constante.
Évaluer au point demandé $\nabla T (1; 2) = (6; 4)$
Pourquoi cette étape ? Remplace x par 1 et y par 2 seulement après avoir dérivé.
Vérifier la direction ${| u |}^{2} = 0 + 1 = 1$
Pourquoi cette étape ? La dérivée directionnelle est donnée par unité de distance; le vecteur direction doit être unitaire.
Projeter le gradient $DᵤT = 6 \times 0 + 4 \times 1 = 4 \frac{K}{m}$
Pourquoi cette étape ? Le déplacement vertical ne prend que la composante verticale du gradient.

Règles, cas particuliers et autre exemple

Pour une température T(x,y), la dérivée partielle en x garde y fixe. Le gradient ∇T=(Tₓ,Tᵧ) regroupe les pentes. Dans une direction unitaire u, DᵤT=∇T·u; la montée la plus rapide suit ∇T. Le plan tangent est l’approximation T(a,b)+Tₓ(a,b)(x−a)+Tᵧ(a,b)(y−b). Elle est locale : une forte courbure augmente l’erreur loin du point. Si x et y sont en mètres et T en kelvins, le gradient s’exprime en K/m.

Exemple résolu

T=x²+2y² au point (1,1). T=3, ∇T=(2,4). Vers u=(3/5,4/5), la dérivée vaut 6/5+16/5=4,4. Pour Δx=0,1 et Δy=0, l’estimation est 3,2; la valeur exacte 3,21 révèle l’erreur d’approximation.

Explorer le gradient

T(x,y) = 3x² + y². Au point (1 ; 2), le gradient vaut (6 ; 4) K/m.

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Optimisation avec et sans contrainte

Maximiser xy avec x+y=10

On remplace une contrainte à deux variables par une fonction d’une seule variable.

Le rappel qui sert ici. Une dérivée nulle donne un candidat intérieur; les bords doivent aussi être comparés. Reprendre ce rappel avec un exemple.

Utiliser la contrainte $y = 10 - x, f (x) = 10 x - x^{2}$
Pourquoi cette étape ? Remplacer y par 10−x conserve exactement les points admissibles, avec x entre 0 et 10.
Annuler la dérivée $f′ = 10 - 2 x = 0, x = 5$
Pourquoi cette étape ? Dérive terme par terme. La pente s’annule quand une hausse de x ne fait plus croître le produit.
Revenir aux deux coordonnées $x = 5, y = 10 - 5 = 5, xy = 25$
Pourquoi cette étape ? Le candidat doit respecter la contrainte originale.
Comparer les extrémités $f (0) = 0, f (10) = 0, maximum = 25$
Pourquoi cette étape ? Les valeurs aux extrémités sont plus petites; le candidat est le maximum sur le segment entier.

Règles, cas particuliers et autre exemple

Un point critique intérieur satisfait ∇f=0. Pour deux variables, le test utilise D=fₓₓfᵧᵧ−fₓᵧ² : D>0 et fₓₓ>0 donnent un minimum local; D<0 un point selle; D=0 ne conclut pas. Un optimum absolu sur un domaine fermé exige aussi l’étude du bord. Sous une contrainte régulière g=c, les candidats satisfont ∇f=λ∇g, plus la contrainte. Il faut encore comparer les valeurs et traiter les points où ∇g=0 séparément.

Exemple résolu

maximiser xy avec x+y=10, x,y≥0. Remplacer y par 10−x : f=10x−x². f′=10−2x=0 donne x=y=5 et f=25. Les deux extrémités donnent 0 : le maximum est global.

Chercher un maximum sous contrainte

Sur x² + y² = 2 dans le premier quadrant, le produit xy est maximal en (1 ; 1) et vaut 1.

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Intégrales doubles et triples

Trouver la masse et le centre d’une plaque

Domaine [0,2]×[0,1], densité ρ=x kg/m² (x numérique en mètres).

Le rappel qui sert ici. Intégrer x donne x²/2; intégrer x² donne x³/3. Le centre de masse utilise une moyenne pondérée. Reprendre ce rappel avec un exemple.

Additionner la densité $m = \int ₀¹ \int ₀² x dx dy = 2 kg$
Pourquoi cette étape ? L’intégrale selon x donne [x²/2]₀²=2. L’intégrale selon y multiplie ensuite par la hauteur 1.
Pondérer par la position $M = \int ₀¹ \int ₀² x^{2} dx dy = \frac{8}{3} kg \cdot m$
Pourquoi cette étape ? Pour mesurer où se trouve la masse, chaque contribution est multipliée une fois de plus par sa position x.
Diviser par la masse totale $x ̄ = \frac{\frac{8}{3}}{2} = \frac{4}{3} m$
Pourquoi cette étape ? Une moyenne pondérée est la somme pondérée divisée par le poids total, ici la masse.
Comparer au centre géométrique $\frac{4}{3} > 1$
Pourquoi cette étape ? La partie droite est plus dense. Le centre de masse doit donc être plus à droite que le milieu géométrique.

Règles, cas particuliers et autre exemple

L’intégrale additionne des contributions locales. Une masse plane vaut ∬ρ(x,y)dA; son centre vérifie x̄=∬xρdA/m, et de même pour y. Les bornes décrivent le domaine, avant le calcul. En polaires, dA=r dr dθ; en cylindriques dV=r dr dθ dz; en sphériques, avec φ mesuré depuis +z, dV=r² sinφ dr dφ dθ. Le jacobien corrige la taille des cellules, il n’est pas optionnel.

Exemple résolu

disque de rayon 2, densité uniforme ρ=3 kg/m². m=∫₀²π∫₀²3r dr dθ=12π kg. La symétrie place le centre en (0,0). Intégrer sans r donnerait des unités et une aire erronées.

Intégrer une densité

Sur [0 ; 2] × [0 ; 1], la densité ρ = x donne une masse de 2 kg et un centre de masse à x = 4/3 m.

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Travail, circulation et flux

Intégrer un champ le long d’un cercle

F=(−y ; x), cercle unité orienté antihoraire. Il faut calculer un travail curviligne, pas un flux.

Le rappel qui sert ici. Les dérivées de cos t et sin t sont −sin t et cos t; sin²t+cos²t=1. Reprendre ce rappel avec un exemple.

Paramétrer le chemin $r (t) = (\cos t; \sin t), 0 \leq t \leq 2 π$
Pourquoi cette étape ? À t=0, le point est (1 ; 0). La vitesse initiale monte vers +y, ce qui fixe le sens antihoraire.
Dériver le chemin $r′ (t) = (- \sin t; \cos t)$
Pourquoi cette étape ? Cette dérivée est le vecteur tangent; c’est lui qui indique la direction du déplacement.
Former le produit scalaire $F (r) \cdot r′ = {\sin t}^{2} + {\cos t}^{2} = 1$
Pourquoi cette étape ? Sur le chemin, F=(−sin t ; cos t), identique à la tangente. Le travail élémentaire est donc positif.
Intégrer sur le tour complet $\int ₀²π 1 dt = 2 π$
Pourquoi cette étape ? Une primitive de 1 est t. Inverser le chemin inverserait la tangente et le signe du résultat.

Règles, cas particuliers et autre exemple

Le travail d’un champ F sur une courbe r(t) vaut ∫F(r(t))·r′(t)dt. Si F=∇φ sur le domaine considéré, il vaut φ(arrivée)−φ(départ). Un rotationnel nul est un test local; pour conclure globalement à un potentiel, il faut des conditions de domaine appropriées. Green transforme une circulation plane orientée positivement en intégrale de ∂Q/∂x−∂P/∂y. Le flux, lui, utilise la composante normale; pour une surface fermée, Gauss relie flux sortant et intégrale de la divergence. Ce dernier théorème est un prolongement du socle MAT165.

Exemple résolu

F=(2x,2y), φ=x²+y². De (0,0) à (1,2), le travail est 5, indépendamment du chemin. Vérification sur r(t)=(t,2t), 0≤t≤1 : F·r′=10t, intégrale=5.

Orienter une circulation

Pour F = (−y ; x), la circulation sur le cercle unité orienté antihoraire vaut 2π.

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Pour aller plus loin

Limites et continuité multivariables, règle de chaîne générale, courbes paramétrées et longueur d’arc, Hessienne en dimension n, intégrales impropres, Stokes et surfaces non fermées.