AlgorythmeLes algorithmes, un geste à la fois Exercices d’algorithmes Cours en français

Asservissements

Prérequis : EDO, Laplace, circuits, complexes. But : modéliser une boucle, analyser sa stabilité et choisir une correction justifiée. Systèmes continus linéaires invariants sauf limite explicitement indiquée.

Premier parcours universitaire · 10–15 h estimées · français

5 visuels et 10 exercices interactifs

Ces leçons forment un premier socle, sans équivalence de crédits universitaires. Les durées sont indicatives et incluent la pratique.

Modèle et fonction de transfert

Identifier un premier ordre avec sa réponse

Un échelon de 2 V produit une variation finale de 6 rad/s. Le modèle τy′+y=Ku part de zéro, sans retard.

Le rappel qui sert ici. À t=τ, 1−e⁻¹≈0,632121. Les variations de sortie et d’entrée donnent le gain statique. Reprendre ce rappel avec un exemple.

  1. Trouver le gain statiqueK=Δy∞Δu=62=3(rad/s)/V

    Pourquoi cette étape ? On utilise les variations autour de l’état initial, pas une valeur absolue non corrigée d’un décalage.

  2. Calculer le repère à 63,212 %y(τ)=6(1−e−1)≈3,79272rad/s

    Pourquoi cette étape ? Le pourcentage porte sur toute la variation finale. Il reste encore environ 36,8 % de l’écart à combler à cet instant.

  3. Lire la constante de tempsy(0,5)=3,79272⇒τ=0,5s

    Pourquoi cette étape ? Cette identification suppose un premier ordre sans retard. Une mesure isolée ne prouve pas que le modèle convient à toutes les commandes.

  4. Passer dans le domaine de Laplace(0,5s+1)Y(s)=3U(s),G(s)=30,5s+1

    Pourquoi cette étape ? La transformée de y′ est sY−y(0). La fonction de transfert utilise des conditions initiales nulles.

  5. Écrire et vérifier la réponse temporelley(t)=6(1−e−2t),y(0)=0,y∞=6

    Pourquoi cette étape ? Dériver cette expression puis la substituer dans 0,5y′+y=3×2 retrouve bien le second membre 6.

Règles, cas particuliers et autre exemple

Un modèle relie commande u et sortie y. Pour τy′+y=Ku, τ>0, le gain statique vaut K et le temps caractéristique τ. À conditions initiales nulles, G(s)=K/(τs+1). Une entrée échelon d’amplitude U produit y=KU(1−e⁻ᵗ/τ). Identifier un modèle signifie estimer ses paramètres sur des observations, puis vérifier ses limites : une seule réponse ressemblante ne prouve pas la validité pour toutes les amplitudes.

Exemple résolu

un échelon de 2 V conduit à une variation finale de 6 rad/s. K=3 (rad/s)/V. Si la sortie atteint 63,212 % de sa variation à 0,5 s, τ≈0,5 s, donc G=3/(0,5s+1). Décaler les mesures si l’état initial n’est pas nul.

Identifier le gain et la constante de temps

K=3, τ=0,5 s, échelon de 2 : sortie finale 6; à τ, sortie ≈3,79272.

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Rétroaction et erreur permanente

Fermer une boucle à retour négatif

Procédé G=1/(s+1), correcteur proportionnel C=2 et retour unitaire. La consigne est un échelon de 1.

Le rappel qui sert ici. Le sommateur forme e=r−y. Les relations u=Ce et y=Gu doivent être résolues ensemble.

  1. Écrire la relation de boucleY=2s+1(R−Y)

    Pourquoi cette étape ? La sortie revient avec un signe moins. Garder seulement CG oublierait que Y influence aussi l’entrée du procédé.

  2. Regrouper les termes en Y(s+1)Y=2R−2Y⇒(s+3)Y=2R

    Pourquoi cette étape ? On multiplie d’abord par s+1, puis on ajoute 2Y des deux côtés.

  3. Lire la fonction fermée et son pôleT=YR=2s+3,pôle=−3

    Pourquoi cette étape ? Le pôle est strictement dans le demi-plan gauche. Ce modèle minimal simple est stable.

  4. Trouver la sortie finaley∞=T(0)=23

    Pourquoi cette étape ? Pour cet échelon unité et cette boucle stable, le gain continu donne la valeur finale.

  5. Calculer l’erreur restantee∞=1−23=13

    Pourquoi cette étape ? Un gain proportionnel fini ne supprime pas l’erreur dans ce cas. Un intégrateur peut la supprimer, mais il faut à nouveau vérifier la stabilité.

Règles, cas particuliers et autre exemple

Avec retour négatif unitaire, e=r−y, u=Ce et y=Gu. Donc T=Y/R=CG/(1+CG) et E/R=1/(1+CG). La rétroaction modifie à la fois gain et dynamique. Le théorème de la valeur finale peut fournir une erreur permanente seulement si les conditions de stabilité sur sE(s) sont respectées. Un intégrateur dans la boucle peut supprimer l’erreur d’échelon d’un système stable, sans garantir ni stabilité ni absence de saturation.

Exemple résolu

G=1/(s+1), C=2. T=2/(s+3), pôle=−3. Pour un échelon unité, y∞=2/3 et e∞=1/3. Un gain proportionnel fini n’annule donc pas ici l’erreur permanente.

Suivre la consigne, la sortie et l’erreur

G=1/(s+1), C=2, retour négatif unitaire : T=2/(s+3), sortie finale 2/3 et erreur 1/3 pour l’échelon unité.

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Pôles, amortissement et Routh

Relier un polynôme aux pôles et au dépassement

Fonction de transfert minimale 4/(s²+2s+4), échelon unité et état initial nul.

Le rappel qui sert ici. La forme standard est s²+2ζωₙs+ωₙ². Il faut comparer les coefficients, puis localiser les pôles.

  1. Identifier la pulsation naturelleωₙ²=4⇒ωₙ=2rad/s

    Pourquoi cette étape ? La pulsation est la racine du terme constant; ce terme n’est pas directement ωₙ.

  2. Identifier l’amortissement2ζωₙ=2⇒ζ=22×2=0,5

    Pourquoi cette étape ? Le coefficient de s contient le produit de ζ et ωₙ. On connaît déjà ωₙ avant de résoudre pour ζ.

  3. Résoudre pour les pôlesp=−ζωₙ±jωₙ√(1−ζ²)=−1±j√3

    Pourquoi cette étape ? La partie réelle négative donne une décroissance. La partie imaginaire non nulle donne des oscillations.

  4. Quantifier le dépassementMp=e−πζ/√(1−ζ²)≈0,163034=16,3034%

    Pourquoi cette étape ? Cette formule concerne la réponse standard de second ordre sous-amortie, sans zéro supplémentaire.

  5. Estimer le temps d’établissement à deux pour centts,2%≈4ζωₙ=4s

    Pourquoi cette étape ? C’est une approximation, pas le premier instant où la courbe croise sa valeur finale. Le visuel propose aussi un polynôme cubique pour exercer Routh.

Règles, cas particuliers et autre exemple

Pour une fonction de transfert rationnelle minimale propre, les pôles strictement à gauche donnent la stabilité BIBO continue. Un modèle d’état exige aussi d’examiner les modes internes : une annulation algébrique peut masquer un mode instable. Pour s²+2ζωₙs+ωₙ², avec 0<ζ<1, le dépassement relatif vaut exp(−πζ/√(1−ζ²)) et le temps d’établissement à 2 % s’approxime par 4/(ζωₙ). Le critère de Routh teste les changements de signe de la première colonne sans calculer toutes les racines; les cas nuls demandent une procédure spéciale.

Exemple résolu

s²+2s+4 donne ωₙ=2 rad/s et ζ=0,5. Pôles −1±j√3; dépassement≈16,3034 % et établissement approximatif≈4 s. Cette approximation n’est pas une égalité sur tous les systèmes.

Des pôles à la réponse, puis au critère de Routh

D=s²+2s+4 : pôles −1±j√3, dépassement ≈16,3034 %. Pour s³+2s²+3s+K, la stabilité stricte demande 0<K<6.

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Bode et marges

Lire une marge sur une boucle simple

Boucle ouverte L(s)=2/(1+s), stable, avec une seule traversée en gain. ω est en rad/s.

Le rappel qui sert ici. Le module vaut 2/√(1+ω²). La phase d’un premier ordre est −arctanω.

  1. Former le module|L(jω)|=2√(1+ω²)

    Pourquoi cette étape ? Le module de 1+jω se calcule par Pythagore, avec les parties réelle 1 et imaginaire ω.

  2. Chercher le passage à zéro décibel2√(1+ωc²)=1⇒1+ωc²=4

    Pourquoi cette étape ? 0 dB correspond à un module 1. On élève ensuite les deux côtés au carré.

  3. Isoler la pulsation de coupureωc=√3≈1,73205rad/s

    Pourquoi cette étape ? On garde la pulsation positive. Une fréquence en hertz serait ωc/(2π), pas la même valeur numérique.

  4. Évaluer la phase à cette pulsationargL(jωc)=−arctan(√3)=−60°

    Pourquoi cette étape ? Le gain et la phase doivent être lus à la même pulsation de coupure.

  5. Mesurer la distance à moins cent quatre-vingts degrésMφ=180°+(−60°)=120°

    Pourquoi cette étape ? La boucle fermée vaut 2/(s+3), donc sa stabilité se confirme aussi par le pôle −3. Ce raisonnement simple ne remplace pas Nyquist pour des boucles plus complexes.

Règles, cas particuliers et autre exemple

La réponse fréquentielle G(jω) fournit module et phase. Pour la boucle ouverte L=CG, la pulsation de coupure en gain vérifie |L|=1. La marge de phase vaut 180°+argL à cette pulsation selon la convention usuelle. Le lien entre marges et stabilité suppose un contexte approprié; plusieurs traversées ou des pôles instables en boucle ouverte exigent une analyse de Nyquist plus complète. Une marge positive lue isolément n’est pas une preuve universelle de robustesse.

Exemple résolu

L=2/(1+s). |L|=2/√(1+ω²)=1 ⇒ ωc=√3 rad/s. La phase y vaut −60°; marge de phase=120°. On peut confirmer la stabilité de cette boucle simple par son unique pôle fermé −3.

Lire le gain et la phase à la même pulsation

L=2/(1+s) : coupure en gain à √3 rad/s, phase −60° et marge de phase 120° dans cette famille simple.

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PI, PID et saturation

Ajouter une intégrale et vérifier la boucle PI

Procédé G=1/(s+1), PI C=(2s+1)/s, retour négatif unitaire, sans saturation pour ce premier calcul.

Le rappel qui sert ici. Un PI combine Kp et Ki/s. L’intégrateur ajoute un pôle à la boucle ouverte : il doit apparaître dans l’algèbre. Reprendre ce rappel avec un exemple.

  1. Former la boucle ouverteL=CG=2s+1s(s+1)

    Pourquoi cette étape ? Le numérateur vient du PI; les deux pôles ouverts sont ceux de l’intégrateur et du procédé.

  2. Calculer la fonction ferméeT=L1+L=2s+1s(s+1)+2s+1

    Pourquoi cette étape ? La formule du retour négatif est L/(1+L). Le dénominateur commun s(s+1) disparaît dans le rapport.

  3. Développer le polynômeD(s)=s²+s+2s+1=s²+3s+1

    Pourquoi cette étape ? Rassemble les coefficients du même degré. Oublier le premier s correspondrait à oublier l’intégrateur.

  4. Calculer les deux pôlesp=−3±√52≈−0,381966;−2,61803

    Pourquoi cette étape ? Les deux pôles sont strictement négatifs; le modèle fermé est stable. Le zéro du numérateur influence aussi la forme temporelle.

  5. Vérifier l’erreur et la limite pratiqueT(0)=1⇒e∞=0

    Pourquoi cette étape ? Ce résultat suppose une commande réalisable. Si u*=Kpe+I dépasse un rail et que l’erreur pousse davantage dans ce sens, l’intégration conditionnelle gèle I; elle reprend quand l’erreur aide à en sortir.

Règles, cas particuliers et autre exemple

Un PID idéal s’écrit u=Kpe+Ki∫e dt+Kd de/dt. P réagit à l’écart, I à son accumulation, D à sa variation. La dérivée amplifie le bruit et doit être filtrée dans une implémentation réelle. Une commande saturée peut laisser l’intégrateur accumuler une erreur inutile : c’est le windup. Une stratégie possible bloque l’intégration quand l’erreur pousse davantage dans la saturation; elle doit la reprendre quand l’erreur aide à en sortir. Régler un contrôleur exige des contraintes sur dépassement, rapidité, erreur et commande.

Exemple résolu

G=1/(s+1), PI C=(2s+1)/s. Le dénominateur fermé est s(s+1)+2s+1=s²+3s+1. Ses pôles (−3±√5)/2 sont négatifs; le gain continu fermé vaut 1 et l’erreur d’échelon s’annule dans le modèle sans saturation.

Comparer un PI linéaire et une commande limitée

G=1/(s+1), Kp=2, Ki=1 : dénominateur s²+3s+1 et erreur d’échelon nulle sans saturation. Une commande limitée demande de surveiller l’intégrale.

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Pour aller plus loin

Lieu des racines, Nyquist complet, compensateurs avance/retard, identification expérimentale, commande d’état, échantillonnage et discrétisation. Les premières fiches ne constituent pas un réglage PID universel prêt pour une machine réelle.