Dérivées et intégrales

Prérequis : algèbre, fonctions, puissances et trigonométrie élémentaire. But : comprendre et calculer une variation ou une accumulation, puis retrouver une fonction à partir de sa dérivée.

Premier parcours universitaire · 10–15 h estimées · français

2 visuels et 10 exercices interactifs

Ces leçons forment un premier socle, sans équivalence de crédits universitaires. Les durées sont indicatives et incluent la pratique.

Taux de variation, limite et tangente

Trouver la dérivée de x² en x=2

La dérivée est une limite de pentes, pas la hauteur de la courbe.

Le rappel qui sert ici. Développer (a+b)² donne a²+2ab+b². Reprendre ce rappel avec un exemple.

Former un quotient de variations $\frac{{(2 + h)}^{2} - 4}{h}$
Pourquoi cette étape ? La hauteur varie de f(2+h)−f(2), et la position de h. On divise ces deux variations; h doit d’abord être non nul.
Développer et simplifier $\frac{4 + 4 h + h^{2} - 4}{h} = 4 + h$
Pourquoi cette étape ? Les constantes 4 se compensent. Chaque terme restant contient h; on peut simplifier ce facteur puisque h≠0.
Faire tendre h vers zéro $f′ (2) = 4$
Pourquoi cette étape ? Une fois le quotient simplifié, h peut tendre vers zéro sans produire 0/0. C’est la pente tangente.
Écrire la tangente $y = 4 + 4 (x - 2)$
Pourquoi cette étape ? Le premier 4 est la hauteur f(2); le second est la pente f′(2). Une tangente utilise les deux informations.

Règles, cas particuliers et autre exemple

Pour une position s(t), le taux moyen entre t et t+h est (s(t+h)−s(t))/h, avec h non nul. La dérivée s′(t) est la limite de ce quotient quand h tend vers zéro, si cette limite existe. Elle décrit la vitesse instantanée; graphiquement, elle donne la pente de la tangente. Une fonction continue n’est pas nécessairement dérivable : |t| possède un coin à zéro, avec des pentes différentes à gauche et à droite. Il faut distinguer la valeur de la fonction, le taux moyen sur un intervalle et le taux instantané.

Exemple résolu

s(t)=t² mètres, t en secondes. À t=2 s, le taux moyen est ((2+h)²−4)/h=4+h m/s. Pour h=0,1 s, il vaut 4,1 m/s; à la limite il vaut 4 m/s. La tangente en t=2 a pour équation s≈4+4(t−2). On simplifie avant de prendre la limite; remplacer immédiatement h par zéro donnerait 0/0.

De la sécante à la tangente

Pour f(x)=x² en x=2, la pente sécante vaut 4+h et tend vers 4.

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Règles de dérivation et fonctions composées

Dériver e⁻²ᵗ sans perdre le facteur intérieur

On sépare la fonction extérieure et son entrée avant de dériver.

Le rappel qui sert ici. La règle de chaîne multiplie la dérivée extérieure par la dérivée intérieure. Reprendre ce rappel avec un exemple.

Nommer l’intérieur $u = - 2 t, u′ = - 2$
Pourquoi cette étape ? L’exponentielle reçoit toute l’expression −2t comme entrée.
Dériver l’extérieur $\frac{d}{du} e^{u} = e^{u}$
Pourquoi cette étape ? La dérivée de l’exponentielle est l’exponentielle elle-même, mais c’est ici une dérivée par rapport à u.
Multiplier par la dérivée intérieure $y′ = e^{u} u′ = - 2 e^{- 2 t}$
Pourquoi cette étape ? Pour dériver par rapport à t, multiplie par u′=−2 puis remplace u par −2t.
Vérifier à t=0 $y (0) = 1, y′ (0) = - 2$
Pourquoi cette étape ? La valeur de la fonction et celle de sa pente sont différentes. Elles serviront séparément dans les conditions initiales.

Règles, cas particuliers et autre exemple

La dérivée est linéaire : (af+bg)′=af′+bg′. Pour une puissance, (xⁿ)′=nxⁿ⁻¹ sur son domaine. Le produit donne (fg)′=f′g+fg′; le quotient donne (f/g)′=(f′g−fg′)/g², avec g non nul. Pour une composée, (f(g(x)))′=f′(g(x))g′(x) : la dérivée intérieure est indispensable. Les dérivées utiles aux équations différentielles sont (eˣ)′=eˣ, (ln x)′=1/x pour x>0, (sin x)′=cos x et (cos x)′=−sin x, avec angles en radians. Pour x≠0, la dérivée de ln|x| vaut aussi 1/x.

Exemple résolu

y=e⁻²ᵗ. La fonction extérieure est l’exponentielle et l’intérieur −2t. Donc y′=−2e⁻²ᵗ. À t=0, y=1 mais y′=−2. Pour vérifier y′+2y=0, substituer : −2e⁻²ᵗ+2e⁻²ᵗ=0. Cette vérification explique pourquoi les exponentielles reviennent dans les modèles de décroissance.

Dériver et vérifier

La dérivée de e⁻²ᵗ est −2e⁻²ᵗ : le facteur de chaîne compte.

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Primitives, intégrales et accumulation

Calculer une accumulation avec une primitive

On calcule le déplacement associé à v(t)=2t entre 0 et 2 secondes.

Le rappel qui sert ici. Une primitive se vérifie en la dérivant : (t²)′=2t. Reprendre ce rappel avec un exemple.

Chercher une primitive $\int 2 t dt = t^{2} + C$
Pourquoi cette étape ? La règle des puissances remonte de t vers t²/2; le coefficient 2 annule ce dénominateur.
Évaluer aux deux bornes $F (2) = 4, F (0) = 0$
Pourquoi cette étape ? Pour une intégrale définie, on évalue la primitive, pas la vitesse elle-même.
Soustraire dans le bon ordre $\int ₀² 2 t dt = F (2) - F (0) = 4$
Pourquoi cette étape ? L’ordre est valeur haute moins valeur basse. Toute constante C se compense entre les deux.
Interpréter l’unité $\frac{m}{s} \times s = m$
Pourquoi cette étape ? Une vitesse accumulée sur une durée donne un déplacement. Ce n’est pas une nouvelle vitesse.

Règles, cas particuliers et autre exemple

Une primitive F de f vérifie F′=f. L’intégrale indéfinie désigne la famille ∫f(x)dx=F(x)+C; oublier C perd des solutions. Pour n≠−1, ∫xⁿdx=xⁿ⁺¹/(n+1)+C; le cas n=−1 donne ln|x|+C sur un intervalle ne traversant pas zéro. L’intégrale définie ∫ₐᵇf(x)dx mesure une accumulation signée. Si f est continue et F′=f, le théorème fondamental donne F(b)−F(a). Une aire géométrique utilise |f|; elle diffère de l’intégrale signée si la courbe traverse l’axe.

Exemple résolu

vitesse v(t)=2t m/s entre 0 et 2 s. Une primitive est t²; le déplacement vaut 2²−0²=4 m. Pour v(t)=t entre −1 et 1, l’intégrale vaut zéro, bien que le mobile ait parcouru une distance totale de 1 m. L’intégrale d’une vitesse donne un déplacement, celle de sa valeur absolue une distance.

Intégrale signée et aire

Pour f(x)=x entre −1 et 1, l’intégrale est nulle et l’aire géométrique vaut 1.

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Changement de variable et intégration par parties

Substituer u=x² dans une intégrale

Exemple : ∫₀¹ 2x e^(x²) dx. La dérivée intérieure 2x apparaît déjà dans l’intégrande.

Le rappel qui sert ici. Une substitution remplace à la fois l’expression et son élément différentiel. Reprendre ce rappel avec un exemple.

Choisir le changement de variable $u = x^{2}, du = 2 x dx$
Pourquoi cette étape ? Dériver u=x² donne du/dx=2x. Le bloc 2x dx peut donc être remplacé par du.
Transformer les bornes $x = 0 \Rightarrow u = 0, x = 1 \Rightarrow u = 1$
Pourquoi cette étape ? On ne conserve pas automatiquement les anciennes bornes. Ici elles ont les mêmes valeurs par coïncidence.
Intégrer dans la nouvelle variable $\int ₀¹ e^{u} du = e^{1} - e^{0}$
Pourquoi cette étape ? La primitive de eᵘ est eᵘ. Toutes les occurrences de x ont disparu avant ce calcul.
Simplifier $résultat = e - 1 \approx 1,718282$
Pourquoi cette étape ? e⁰ vaut 1. Le résultat est positif, cohérent avec un intégrande positif sur [0,1].

Règles, cas particuliers et autre exemple

Le changement de variable inverse la règle de chaîne : poser u=g(x) transforme g′(x)dx en du. Pour une intégrale définie, transformer aussi les bornes, ou revenir à x avant d’utiliser les bornes initiales. L’intégration par parties inverse la règle du produit : ∫u dv=uv−∫v du. Choisir u pour simplifier sa dérivée, et dv pour pouvoir trouver v. Une forme de réponse se vérifie toujours par dérivation sur son domaine; deux primitives correctes peuvent différer d’une constante.

Exemple résolu

∫₀¹2x e^(x²)dx. Poser u=x², du=2x dx; les bornes deviennent 0 et 1. L’intégrale vaut ∫₀¹eᵘdu=e−1. Pour ∫x eˣdx, prendre u=x, dv=eˣdx : le résultat est xeˣ−eˣ+C. Dériver ce résultat restitue bien xeˣ.

Choisir une technique d’intégration

Un changement de variable transforme aussi les bornes; par parties, ∫u dv = uv − ∫v du.

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Condition initiale et passage aux équations différentielles

Retrouver y à partir de y′ et d’un point initial

Exemple : y′=2t et y(0)=3. Il faut construire une fonction puis choisir sa constante.

Le rappel qui sert ici. Une constante disparaît à la dérivation : c’est pourquoi une famille entière partage la même dérivée. Reprendre ce rappel avec un exemple.

Intégrer la dérivée $y = \int 2 t dt = t^{2} + C$
Pourquoi cette étape ? On reconnaît une primitive de 2t. La constante C représente la hauteur encore inconnue.
Substituer le point connu $3 = 0^{2} + C, C = 3$
Pourquoi cette étape ? La condition y(0)=3 porte sur y, pas sur y′. Elle sélectionne un membre de la famille.
Évaluer la fonction complète $y (2) = 2^{2} + 3 = 7$
Pourquoi cette étape ? On conserve la constante choisie pour chaque valeur de t.
Faire les deux vérifications $\frac{d}{dt} (t^{2} + 3) = 2 t, y (0) = 3$
Pourquoi cette étape ? La première vérification porte sur l’équation, la seconde sur le point initial. Une seule ne suffit pas.

Règles, cas particuliers et autre exemple

Une équation différentielle demande une fonction inconnue, pas seulement un nombre. Pour y′=f(t), intégrer donne y=F(t)+C; une condition y(t₀)=y₀ fixe C. La vérification comporte deux tests : satisfaire l’équation et respecter la condition initiale. Pour y′=ay, la séparation sur un intervalle où y≠0 donne dy/y=a dt, puis ln|y|=at+C et y=Keᵃᵗ; y=0 est aussi une solution à conserver. Les règles de dérivation expliquent la vérification, et les primitives expliquent la construction de la solution.

Exemple résolu

y′=2t, y(0)=3. Intégrer : y=t²+C. La condition initiale impose C=3; donc y(2)=7. Autre modèle : y′=−2y, y(0)=3. La solution y=3e⁻²ᵗ satisfait y(0)=3 et y′=−6e⁻²ᵗ=−2y. On est maintenant prêt à étudier séparables, linéaires et Bernoulli dans le cours d’équations différentielles.

Prêt pour les équations différentielles

y′=2t et y(0)=3 donnent y=t²+3. Dérive et vérifie la condition initiale.

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Pour aller plus loin

Limites et continuité détaillées, dérivation implicite, optimisation à une variable, l’Hôpital, fractions partielles, substitutions trigonométriques et intégrales impropres. Ces prolongements ne sont pas requis pour commencer les premières leçons d’équations différentielles, mais serviront aux modèles plus avancés.