Ondes, acoustique et optique

Prérequis : trigonométrie, mouvement et dérivées. But : distinguer oscillation locale et propagation, puis prévoir interférences et images.

Premier parcours universitaire · 10–15 h estimées · français

5 visuels et 10 exercices interactifs

Ces leçons forment un premier socle, sans équivalence de crédits universitaires. Les durées sont indicatives et incluent la pratique.

Oscillation harmonique

Dériver le mouvement d’un ressort

m=1 kg, k=4 N/m, amplitude 0,10 m, départ à l’extrémité positive sans vitesse. Le modèle est sans amortissement.

Le rappel qui sert ici. La dérivée de cos(ωt) vaut −ω sin(ωt). Chaque dérivation apporte le facteur intérieur ω. Reprendre ce rappel avec un exemple.

Obtenir la pulsation $ω = \sqrt (\frac{k}{m}) = 2 rad / s$
Pourquoi cette étape ? Newton et F=−kx donnent x″+(k/m)x=0. Le coefficient d’une oscillation harmonique est ω², pas ω.
Convertir en période $T = \frac{2 π}{ω} = π s$
Pourquoi cette étape ? La pulsation est en rad/s. Une oscillation complète parcourt 2π radians; ce n’est pas une fréquence de 2 Hz.
Écrire la position puis la vitesse $x (t) = 0,10 \cos (2 t), v (t) = - 0,20 \sin (2 t)$
Pourquoi cette étape ? Le départ à l’extrémité positive fixe la phase à zéro. Le facteur 2 de la règle de chaîne double l’amplitude de la vitesse.
Dériver une seconde fois $a (t) = - 0,40 \cos (2 t) = - 4 x (t)$
Pourquoi cette étape ? L’accélération est dirigée vers l’équilibre. Elle est opposée à x, même lorsque la vitesse instantanée est nulle.
Vérifier l’énergie $E = \frac{k}{2} A^{2} = 0,020 J$
Pourquoi cette étape ? Aux extrémités, l’énergie est élastique. En passant par x=0, elle est cinétique : Aω=0,20 m/s donne la même énergie.

Règles, cas particuliers et autre exemple

Un ressort idéal vérifie F=−kx. Pour une masse m sans amortissement, mx″+kx=0, d’où x=Acos(ωt+φ) et ω=√(k/m). La période T=2π/ω diffère de la fréquence f=1/T. La vitesse est décalée en phase et son amplitude vaut Aω; l’accélération vaut −ω²x. L’énergie échange ses formes cinétique et élastique. Le modèle linéaire exige un ressort dans son domaine de comportement élastique et néglige les pertes.

Exemple résolu

m=1 kg, k=4 N/m, x(0)=0,1 m, v(0)=0. ω=2 rad/s; x=0,1cos2t m; T=π s. L’énergie totale vaut kA²/2=0,02 J. Aux extrémités v=0; à l’équilibre la vitesse est maximale.

Observer un ressort sans amortissement

m=1 kg, k=4 N/m, A=0,10 m : ω=2 rad/s, T=π s, énergie constante 0,020 J.

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Propagation d’une onde

Lire une onde sans confondre ses deux vitesses

y(x,t)=0,01cos(4πx−20πt), avec x et y en mètres, t en secondes.

Le rappel qui sert ici. La forme Acos(kx−ωt) contient k=2π/λ et ω=2πf. L’argument du cosinus est une phase sans dimension.

Identifier les trois coefficients $A = 0,01 m, k = 4 π rad / m, ω = 20 π rad / s$
Pourquoi cette étape ? Le coefficient de x est une fréquence spatiale, celui de t une fréquence temporelle. L’amplitude n’est ni λ ni une vitesse.
Trouver la longueur d’onde $λ = \frac{2 π}{k} = 0,50 m$
Pourquoi cette étape ? Un profil se répète lorsque la phase augmente de 2π en avançant dans l’espace.
Trouver la fréquence temporelle $f = \frac{ω}{2 π} = 10 Hz$
Pourquoi cette étape ? À x fixé, la particule effectue dix oscillations par seconde. Les radians par seconde et les hertz sont distincts.
Suivre un point de phase constante $kx - ωt = C \Rightarrow \frac{dx}{dt} = \frac{ω}{k} = 5 m / s$
Pourquoi cette étape ? Quand t augmente, x doit augmenter pour garder la même phase. Le profil se propage donc vers +x.
Dériver à position fixe $vᵧ = \frac{\partial y}{\partial t} = 0,20 π \sin (4 πx - 20 πt) m / s$
Pourquoi cette étape ? La particule repérée reste à la même abscisse et oscille transversalement. Sa vitesse maximale est environ 0,6283 m/s; elle ne se déplace pas à 5 m/s vers +x.

Règles, cas particuliers et autre exemple

Une onde sinusoïdale y(x,t)=Acos(kx−ωt+φ) avance vers +x : une phase constante exige x croissant avec t. k=2π/λ, ω=2πf et v=ω/k=λf. La vitesse du profil n’est pas celle d’une particule du milieu. Sur une corde idéale tendue, v=√(Fₜ/μ), où μ est la masse linéique. La formule suppose de petites déformations transversales et une tension approximativement constante.

Exemple résolu

y=0,01cos(4πx−20πt), unités SI. λ=0,5 m, f=10 Hz et v=5 m/s vers +x. Un point de corde à x fixé oscille verticalement; il ne voyage pas à 5 m/s le long de la corde.

Suivre le profil et une particule

y=0,01cos(4πx−20πt) : λ=0,5 m, f=10 Hz, profil à +5 m/s; chaque particule oscille transversalement.

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Superposition et modes propres

Construire le troisième mode d’une corde

Corde de longueur L=1 m, fixée aux deux bouts, vitesse de propagation v=100 m/s. On cherche le mode n=3.

Le rappel qui sert ici. Les deux extrémités sont des nœuds. La longueur L doit contenir un nombre entier n de demi-longueurs d’onde.

Traduire les conditions de bord $L = \frac{nλ}{2}$
Pourquoi cette étape ? Une demi-longueur d’onde relie deux nœuds voisins. Trois demi-longueurs d’onde doivent tenir dans la corde.
Calculer la longueur d’onde $λ₃ = \frac{2 L}{3} = \frac{2}{3} m$
Pourquoi cette étape ? Le nombre du mode ne signifie pas trois longueurs d’onde complètes.
Déduire la fréquence $f₃ = \frac{100}{2 / 3} = 150 Hz$
Pourquoi cette étape ? La relation v=λf reste valable pour les ondes qui composent le mode stationnaire.
Placer tous les nœuds $x = 0, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 1 m$
Pourquoi cette étape ? Il y a quatre nœuds en comptant les bouts et deux nœuds intérieurs. Les ventres sont au milieu des intervalles.
Distinguer annulation locale et disparition du mode $y (x, t) = 2 A \sin (3 πx / L) \cos (2 πf₃t)$
Pourquoi cette étape ? Aux nœuds, le facteur spatial est toujours nul. Quand le facteur temporel cos vaut zéro, toute la corde traverse l’équilibre; cela ne crée pas de nouveaux nœuds permanents.

Règles, cas particuliers et autre exemple

Dans un milieu linéaire, les déplacements s’additionnent. Deux sinusoïdes de même fréquence interfèrent selon leur déphasage; l’amplitude résultante de deux ondes d’amplitude A vaut 2A|cos(Δφ/2)|. Deux ondes opposées produisent une onde stationnaire. Une corde fixée aux deux bouts impose y=0 aux extrémités : λₙ=2L/n et fₙ=nv/(2L). Les nœuds ne bougent pas, les ventres oscillent. Ces conditions de bord fixent les modes; elles changent pour un tuyau ouvert ou fermé.

Exemple résolu

L=1 m, v=100 m/s. Le fondamental est 50 Hz; le troisième mode est 150 Hz et possède deux nœuds intérieurs. Une excitation à une autre fréquence ne correspond pas forcément à un mode stationnaire idéal.

Comparer interférence et mode stationnaire

Corde fixée de 1 m, v=100 m/s : le troisième mode vaut 150 Hz, avec deux nœuds intérieurs.

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Intensité sonore, battements et Doppler

Additionner deux sources sonores incohérentes

Deux sources donnent chacune 60 dB au point d’écoute. Leurs intensités moyennes s’ajoutent; on n’impose pas de phase relative stable.

Le rappel qui sert ici. L=10log₁₀(I/I₀), avec I₀=10⁻¹² W/m². Inverser le logarithme donne I=I₀×10^(L/10).

Revenir à l’intensité d’une source $I₁ = I₀ \times 10^{60 / 10} = 10^{- 6} W / m²$
Pourquoi cette étape ? Un niveau en décibels est logarithmique. Il faut d’abord retrouver la grandeur physique qui s’additionne.
Additionner les intensités $Iₜₒₜ = I₁ + I₂ = 2 \times 10^{- 6} W / m²$
Pourquoi cette étape ? L’addition simple s’applique ici aux intensités de sources incohérentes. Une interférence cohérente demanderait aussi la phase.
Former le rapport à la référence $\frac{Iₜₒₜ}{I₀} = 2 \times 10^{6}$
Pourquoi cette étape ? Le rapport est sans unité; le logarithme ne doit pas recevoir une grandeur dimensionnée.
Reconvertir en décibels $Lₜₒₜ = 60 + 10 log₁₀ (2) \approx 63,0103 dB$
Pourquoi cette étape ? Doubler l’intensité ajoute environ 3,01 dB. Additionner 60+60 dB donnerait un résultat physiquement différent.
Comparer avec deux fréquences proches $fᵦ = | 444 - 440 | = 4 Hz$
Pourquoi cette étape ? Un battement décrit la variation d’une enveloppe de deux signaux cohérents proches. Ce n’est pas la même hypothèse que l’addition moyenne des sources incohérentes.

Règles, cas particuliers et autre exemple

L’intensité est une puissance par surface. Le niveau sonore L=10log₁₀(I/I₀) utilise I₀=10⁻¹² W/m². Pour des sources incohérentes, additionner les intensités, pas les décibels. Deux fréquences proches donnent une fréquence de battement |f₁−f₂|. Pour une source acoustique se rapprochant d’un observateur immobile dans le milieu, fobs=f v/(v−vₛ), avec vₛ<v. Le mouvement par rapport au milieu compte; ce modèle acoustique ne s’applique pas tel quel à la lumière.

Exemple résolu

deux sources incohérentes de 60 dB au point d’écoute. Chacune donne I=10⁻⁶ W/m²; le total vaut 2×10⁻⁶, soit 63,0103 dB. Deux fois l’intensité ne donne pas 120 dB.

Choisir un modèle acoustique

Deux sources incohérentes de 60 dB donnent 63,0103 dB. Deux fréquences cohérentes 440 et 444 Hz donnent 4 battements par seconde.

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Réfraction, lentilles et polarisation

Réfracter un rayon en mesurant depuis la normale

Un rayon va de l’air n₁=1 vers du verre n₂=1,5. L’incidence est de 30° depuis la normale à la surface.

Le rappel qui sert ici. La normale est perpendiculaire à l’interface. sin30°=1/2. Arcsin retrouve un angle à partir de son sinus.

Écrire Snell–Descartes $n₁ sinθ₁ = n₂ sinθ₂$
Pourquoi cette étape ? Les deux angles sont mesurés par rapport à la même normale, pas par rapport à la surface.
Isoler le sinus de l’angle transmis $sinθ₂ = \frac{n₁}{n₂} sinθ₁ = \frac{1}{3}$
Pourquoi cette étape ? On divise par l’indice du second milieu. Multiplier par 1,5 ferait dévier le rayon dans le mauvais sens.
Prendre la fonction inverse $θ₂ = \arcsin (\frac{1}{3}) \approx 19,4712 °$
Pourquoi cette étape ? Le nombre 1/3 est un sinus, pas l’angle en radians ou en degrés. On choisit ici la direction transmise dans le second milieu.
Vérifier le sens de la déviation $19,4712 ° < 30 °$
Pourquoi cette étape ? L’indice augmente : le rayon se rapproche de la normale. La vitesse de la lumière dans le milieu diminue, mais sa fréquence reste la même.
Tester l’existence d’un rayon transmis $\frac{n₁}{n₂} sinθ₁ > 1 \Rightarrow réflexion totale$
Pourquoi cette étape ? Cette possibilité existe en passant d’un indice plus élevé à un plus faible. Le visuel affiche alors une réflexion au lieu d’inventer un angle réel.

Règles, cas particuliers et autre exemple

Snell–Descartes relie les angles mesurés depuis la normale : n₁sinθ₁=n₂sinθ₂. Une lentille mince paraxiale vérifie 1/f=1/do+1/di; avec objet réel devant la lentille et image réelle derrière, do et di sont positifs, f>0 pour une convergente. Le grandissement vaut −di/do. Les conventions de signe doivent être annoncées. Pour une lumière linéairement polarisée traversant un analyseur idéal, Malus donne I=Iincident cos²θ. Une lumière non polarisée perd d’abord la moitié de son intensité au premier polariseur idéal.

Exemple résolu

lentille convergente f=10 cm, objet à 30 cm. 1/di=1/10−1/30=1/15, donc di=15 cm et grandissement=−0,5 : image réelle, inversée, deux fois plus petite.

Trois expériences optiques distinctes

Air vers verre n=1,5, incidence 30° depuis la normale : angle transmis ≈19,4712°. Lentille et analyseur se choisissent séparément.

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Pour aller plus loin

Impédance et puissance des cordes, oscillations forcées, diffraction et interférences à deux fentes, lentilles épaisses, fibres optiques, dispersion et Doppler relativiste. La leçon d’optique constitue une entrée, pas tout PHY335.