Équations différentielles

Prérequis : dérivées, intégrales, exponentielles et complexes élémentaires. But : relier une loi d’évolution à une solution vérifiable.

Premier parcours universitaire · 10–15 h estimées · français

5 visuels et 10 exercices interactifs

Ces leçons forment un premier socle, sans équivalence de crédits universitaires. Les durées sont indicatives et incluent la pratique.

Modéliser et séparer les variables

Résoudre y′ = −2y avec y(0) = 3

On cherche toute une fonction y(t). La dérivée décrit sa pente; l’intégrale permet de retrouver la fonction.

Le rappel qui sert ici. Rappels : (ln|y|)′ = y′/y et (eᵃᵗ)′ = a eᵃᵗ. On teste y=0 avant de diviser par y. Reprendre ce rappel avec un exemple.

Séparer les variables $\frac{dy}{y} = - 2 dt$
Pourquoi cette étape ? Écris y′=dy/dt. Sur un intervalle où y≠0, divise par y puis multiplie par dt; y=0 reste une solution séparée.
Intégrer les deux côtés $\ln | y | = - 2 t + C$
Pourquoi cette étape ? Une primitive de 1/y est ln|y|. Une primitive de −2 est −2t. Les deux constantes d’intégration se regroupent en une seule.
Enlever le logarithme $y = K e^{- 2 t}$
Pourquoi cette étape ? Exponentie l’égalité. Le facteur eᶜ et le signe de y sont regroupés dans K. La valeur K=0 réintègre la solution nulle.
Utiliser la condition initiale $3 = K e^{0} = K$
Pourquoi cette étape ? À t=0, e⁰=1. C’est y(0)=3 qui fixe l’amplitude, pas la valeur de la dérivée.
Évaluer la solution $y (1) = 3 e^{- 2} \approx 0,406006$
Pourquoi cette étape ? Remplace t par 1 après avoir trouvé la fonction. Le résultat est inférieur à 3, cohérent avec la décroissance.
Vérifier par dérivation $y′ = - 6 e^{- 2 t} = - 2 y$
Pourquoi cette étape ? La règle de chaîne apporte le facteur −2. Vérifie aussi y(0)=3 : il faut satisfaire ces deux conditions.

Règles, cas particuliers et autre exemple

Une équation différentielle relie une fonction à ses dérivées. La condition initiale choisit une trajectoire parmi les solutions. Pour y′=a(t)b(y), séparer donne dy/b(y)=a(t)dt seulement là où b(y)≠0; les racines de b peuvent fournir des solutions constantes à conserver. Un champ de pentes montre les directions locales sans être une preuve de solution. Vérifier une réponse signifie la dériver, la substituer dans l’équation et contrôler la condition initiale.

Exemple résolu

refroidissement T′=−0,1(T−20), T(0)=80 °C, t en minutes. Poser θ=T−20 : θ′/θ=−0,1. Intégrer donne θ=C exp(−0,1t); C=60. À t=10 : T≈42,07 °C. T=20 est aussi une solution d’équilibre. Le modèle suppose une ambiance et un coefficient constants.

La dérivée donne la pente de la solution

Référence : y′=−2y, y(0)=3 donne y=3e⁻²ᵗ.

Les étapes et équations ci-dessus restent lisibles sans JavaScript; active-le pour explorer le modèle et pratiquer.

Linéaires et équation de Bernoulli

Transformer Bernoulli en une équation linéaire

Exemple : y′+y=y² et y(0)=2. On va changer l’inconnue, résoudre le problème plus simple, puis revenir à y.

Le rappel qui sert ici. Rappel de chaîne : si v=1/y, alors v′=−y′/y². Cette substitution exclut y=0; on conserve cette solution à part. Reprendre ce rappel avec un exemple.

Choisir la nouvelle inconnue $v = \frac{1}{y}, v′ = \frac{- y′}{y^{2}}$
Pourquoi cette étape ? Dérive y⁻¹ : le coefficient −1 descend et la dérivée intérieure y′ multiplie le résultat.
Diviser puis changer le signe $\frac{- y′}{y^{2}} - \frac{1}{y} = - 1$
Pourquoi cette étape ? Divise y′+y=y² par y² puis multiplie tous les termes par −1. Les deux premiers termes sont maintenant v′ et −v.
Reconnaître une équation linéaire $v′ - v = - 1$
Pourquoi cette étape ? Le terme v n’est plus au carré. Le facteur intégrant est e^(∫−1 dt)=e⁻ᵗ.
Utiliser la règle du produit à l’envers $\frac{d}{dt} (e^{- t} v) = - e^{- t}$
Pourquoi cette étape ? Multiplier par e⁻ᵗ donne e⁻ᵗv′−e⁻ᵗv. C’est exactement la dérivée du produit e⁻ᵗv.
Intégrer puis isoler v $v = 1 + C e^{t}$
Pourquoi cette étape ? La primitive de −e⁻ᵗ est e⁻ᵗ. Après intégration, divise par e⁻ᵗ; le terme constant devient C eᵗ.
Appliquer la condition initiale $v (0) = \frac{1}{2} = 1 + C, C = \frac{- 1}{2}$
Pourquoi cette étape ? Puisque y(0)=2, la nouvelle inconnue commence à 1/2. La condition initiale doit elle aussi être transformée.
Revenir à y et vérifier le domaine $y = \frac{1}{1 - \frac{e^{t}}{2}}, t < \ln 2$
Pourquoi cette étape ? Le dénominateur devient nul à t=ln2. L’intervalle maximal contenant zéro s’arrête là; ne traverse pas l’asymptote en reliant les courbes.

Règles, cas particuliers et autre exemple

Une équation y′+p(t)y=q(t) se résout avec μ=exp(∫p dt) : (μy)′=μq. Bernoulli généralise en y′+py=q yⁿ, n≠0,1. Pour y non nul dans un domaine où les puissances existent, poser v=y^(1−n) donne v′+(1−n)pv=(1−n)q. On résout l’équation linéaire en v puis revient à y. Vérifier séparément les solutions nulles éventuelles et les singularités. Ce Bernoulli ne décrit ni une probabilité ni un écoulement.

Exemple résolu

y′+y=y², y(0)=1/2. Avec v=1/y, v′−v=−1; v=1+Ceᵗ. v(0)=2 donne C=1, donc y=1/(1+eᵗ). La dérivée confirme y′=y²−y.

La substitution de Bernoulli

Référence : y′+y=y², y(0)=2 donne y=1/(1−eᵗ/2), pour t<ln2.

Les étapes et équations ci-dessus restent lisibles sans JavaScript; active-le pour explorer le modèle et pratiquer.

Second ordre et amortissement

Résoudre y″ + 4y′ + 4y = 0

Les conditions sont y(0)=1 et y′(0)=0. Un ordre deux exige deux constantes, donc deux conditions initiales.

Le rappel qui sert ici. Rappel du produit : (uv)′=u′v+uv′. Rappel de chaîne : (e⁻²ᵗ)′=−2e⁻²ᵗ. Reprendre ce rappel avec un exemple.

Essayer une exponentielle $y = e^{rt}, y′ = r e^{rt}, y″ = r^{2} e^{rt}$
Pourquoi cette étape ? Chaque dérivation multiplie l’exponentielle par r. Ce choix transforme la dérivation en une multiplication.
Former le polynôme caractéristique $r^{2} + 4 r + 4 = {(r + 2)}^{2} = 0$
Pourquoi cette étape ? Substitue les trois expressions dans l’équation, puis divise par eʳᵗ, qui ne s’annule jamais. La racine −2 est double.
Écrire deux solutions indépendantes $y = (A + Bt) e^{- 2 t}$
Pourquoi cette étape ? Deux copies de e⁻²ᵗ ne donnent pas deux solutions indépendantes. Pour une racine double, la seconde est t e⁻²ᵗ.
Dériver en montrant les deux termes $y′ = B e^{- 2 t} - 2 (A + Bt) e^{- 2 t}$
Pourquoi cette étape ? Le premier terme dérive A+Bt; le second dérive l’exponentielle. C’est exactement la règle du produit.
Appliquer les conditions initiales $A = 1, B - 2 A = 0, B = 2$
Pourquoi cette étape ? À t=0, le facteur exponentiel vaut 1. La position donne A; la vitesse donne ensuite B.
Substituer dans l’équation $y = (1 + 2 t) e^{- 2 t}, y′ = - 4 t e^{- 2 t}$
Pourquoi cette étape ? En dérivant encore, y″=(8t−4)e⁻²ᵗ. Les termes de y″+4y′+4y s’annulent : (8t−4)−16t+4+8t=0.

Règles, cas particuliers et autre exemple

Pour my″+cy′+ky=0, m>0, l’équation caractéristique est mr²+cr+k=0. Deux racines réelles distinctes donnent deux exponentielles, une racine double donne (A+Bt)eʳᵗ, des racines complexes α±iβ donnent eᵅᵗ(A cosβt+B sinβt). Avec k>0 et c≥0, ωₙ=√(k/m) et ζ=c/(2√km) décrivent l’amortissement. Les deux conditions initiales fixent A et B. Une excitation impose d’ajouter une solution particulière; la solution homogène seule ne suffit plus.

Exemple résolu

y″+2y′+5y=0, y(0)=1, y′(0)=0. Racines −1±2i : y=e⁻ᵗ(A cos2t+B sin2t). A=1; y′(0)=−A+2B=0 ⇒ B=1/2. L’enveloppe décroît, bien que le signal oscille.

Position et vitesse d’un oscillateur

Référence : y″+4y′+4y=0, y(0)=1, y′(0)=0 donne y=(1+2t)e⁻²ᵗ.

Les étapes et équations ci-dessus restent lisibles sans JavaScript; active-le pour explorer le modèle et pratiquer.

Laplace et entrées retardées

Une entrée s’allume après une seconde

On résout y′+2y=u(t−1), y(0)=0. Avant t=1, l’entrée vaut zéro; après, elle vaut un.

Le rappel qui sert ici. Rappel : dériver une exponentielle multiplie par son exposant intérieur. Laplace encode aussi la condition initiale : L[y′]=sY−y(0). Reprendre ce rappel avec un exemple.

Transformer chaque terme $sY - 0 + 2 Y = \frac{e^{- s}}{s}$
Pourquoi cette étape ? Y est la transformée de la fonction inconnue y. Le retard de l’échelon donne le facteur e⁻ˢ.
Isoler Y $Y = \frac{e^{- s}}{s (s + 2)}$
Pourquoi cette étape ? Regroupe sY+2Y=(s+2)Y, puis divise par s+2. On sépare le retard du calcul algébrique suivant.
Décomposer en fractions simples $\frac{1}{s (s + 2)} = \frac{1}{2} (\frac{1}{s} - \frac{1}{s + 2})$
Pourquoi cette étape ? Pose A/s+B/(s+2). En remettant au même dénominateur, 1=A(s+2)+Bs; s=0 donne A=1/2, puis A+B=0 donne B=−1/2.
Inverser avant de retarder $f (t) = \frac{1}{2} (1 - e^{- 2 t})$
Pourquoi cette étape ? La paire 1/s correspond à 1, et 1/(s+2) à e⁻²ᵗ. C’est le résultat sans le facteur de retard.
Décaler toute la fonction $y (t) = \frac{1}{2} (1 - e^{- 2 (t - 1)}) u (t - 1)$
Pourquoi cette étape ? Remplace t par t−1 partout dans f, puis multiplie par l’échelon. À t=1 la sortie reste nulle; sa pente change brusquement.
Vérifier après l’activation $y′ + 2 y = e^{- 2 (t - 1)} + 1 - e^{- 2 (t - 1)} = 1$
Pourquoi cette étape ? La règle de chaîne annule le facteur 1/2. La vérification classique s’effectue pour t<1 et t>1; la dérivée peut ne pas exister au point de commutation.

Règles, cas particuliers et autre exemple

La transformée Y(s)=∫₀∞y(t)e⁻ˢᵗdt convertit la dérivation en algèbre : L[y′]=sY−y(0). Les conditions initiales entrent donc directement dans l’équation. L’échelon u(t−a) active un signal à t=a. Le retard s’écrit L[u(t−a)f(t−a)]=e⁻ᵃˢF(s); oublier le décalage dans f change le signal. Après fractions partielles et transformée inverse, vérifier la continuité ou le saut imposé par le type d’entrée.

Exemple résolu

y′+y=u(t−2), y(0)=0. (s+1)Y=e⁻²ˢ/s; Y=e⁻²ˢ/[s(s+1)]. Comme 1/[s(s+1)]=1/s−1/(s+1), y=0 avant 2, puis 1−e⁻⁽ᵗ⁻²⁾. La sortie est continue à 2.

Une entrée retardée, une sortie continue

Référence : y′+2y=u(t−1) et y(0)=0 donne y=(1−e⁻²⁽ᵗ⁻¹⁾)/2 après t=1, et zéro avant.

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Systèmes et approximation numérique

Euler : avancer avec la pente connue

Exemple : y′=−2y, y(0)=1. On compare la solution exacte e⁻²ᵗ à deux pas d’Euler de h=0,1.

Le rappel qui sert ici. Rappel de tangente : y(t+h)≈y(t)+h y′(t). Euler réutilise cette approximation à partir de chaque point numérique. Reprendre ce rappel avec un exemple.

Lire la pente au point de départ $t₀ = 0, y₀ = 1, f (t₀, y₀) = - 2$
Pourquoi cette étape ? La pente dépend de la valeur actuelle y₀, pas d’une valeur future inconnue.
Calculer l’incrément $Δy = 0,1 \times (- 2) = - 0,2$
Pourquoi cette étape ? Multiplier une pente par une durée donne une variation de y. Une pente négative produit un incrément négatif.
Avancer d’un pas $y₁ = 1 - 0,2 = 0,8, t₁ = 0,1$
Pourquoi cette étape ? Ajoute la variation à la valeur précédente. Ce nouveau point est une approximation, pas un point exact de la courbe.
Recalculer la pente avant le second pas $y₂ = 0,8 + 0,1 \times (- 1,6) = 0,64$
Pourquoi cette étape ? La nouvelle pente est −2×0,8=−1,6. Réutiliser −2 au deuxième pas donnerait une autre méthode.
Mesurer l’erreur $erreur = 0,64 - e^{- 0,4} \approx - 0,030320$
Pourquoi cette étape ? À t=0,2, l’exact vaut environ 0,670320. Le signe signifie que l’approximation est ici sous la solution exacte.
Contrôler la stabilité du pas $| 1 - 2 h | < 1, 0 < h < 1$
Pourquoi cette étape ? Euler multiplie y par 1−2h à chaque pas. À h=1 la norme ne décroît plus; au-delà elle grandit, même si la solution physique décroît.

Règles, cas particuliers et autre exemple

Poser x₁=y et x₂=y′ transforme un ordre 2 en système du premier ordre. Pour x′=Ax, les valeurs propres décrivent les modes; une partie réelle positive suffit à produire un mode croissant. Euler explicite utilise xₙ₊₁=xₙ+h f(tₙ,xₙ). Il approxime une tangente, avec erreur globale d’ordre h sous les hypothèses usuelles de régularité. Un pas trop grand peut rendre une décroissance physique numériquement instable : pour y′=−ay, a>0, il faut |1−ah|<1 pour la stabilité asymptotique d’Euler.

Exemple résolu

y′=−2y, y₀=1, h=0,1. y₁=0,8, y₂=0,64. La valeur exacte à 0,2 est e⁻⁰·⁴≈0,670320; l’erreur vaut −0,030320. Le résultat numérique ne constitue pas une nouvelle loi physique.

Euler suit les tangentes

Référence : y′=−2y, y(0)=1, h=0,1 donne 0,8 puis 0,64.

Les étapes et équations ci-dessus restent lisibles sans JavaScript; active-le pour explorer le modèle et pratiquer.

Pour aller plus loin

Équations exactes, existence et unicité détaillées, variation des paramètres, convolution, impulsion de Dirac, séries de puissances, Fourier, Runge–Kutta et systèmes raides. Ils ne sont pas évalués dans les dix exercices présents.